Équation différentielle linéaire/Exemples et intérêt

Introduction

Nous avons développé un arsenal mathématique pour résoudre ces équations, espérons que c’est utile ! Fort heureusement, ça l'est. En effet, pour beaucoup, la physique regorge d'équations différentielles, et on peut parfois les approcher par des équations linéaires.

On présente ici quelques exemples et rappelons les avantages de ces méthodes.

Rappels utiles

Ces quelques résultats nous seront utiles dans les exemples, bien que probablement connus du lecteur. Tout d’abord sur l’existence de racines :

Théorème de d'Alembert

Le corps $\mathbb {C}$ des nombres complexes est algébriquement clos. En d'autres termes, tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans le corps $\mathbb {C}$ des nombres complexes a au moins une racine dans $\mathbb {C}$ .

En particulier, le cas des polynômes d'ordre deux est simplissime :

Racines d'un polynôme d'ordre 2

Soit $P=aX^{2}+bX+c$ un polynôme de degré deux. Alors il admet dans $\mathbb {C}$ une racine, deux racines réelles ou deux racines complexes. On pose $\Delta =b^{2}-4ac$ , quantité appelée « discriminant ».

Si $\Delta =0$ , alors il y a une seule racine : $-{\frac {b}{2a}}$ ;
Si $\Delta >0$ , il y a deux racines réelles : $-{\frac {b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}$
Si $\Delta <0$ , il y a deux racines complexes conjuguées : $-{\frac {b\pm i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}$

Rappelons enfin une propriété immédiate pour ces polynômes :

Propriété

On note $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de P, alors :

c/a=x_{1}x_{2}

b/a=-\left(x_{1}+x_{2}\right)

Le fait d’utiliser la notation complexe, pour un problème qui ne traite que de quantité physiques réelles, permet de restreindre les solutions complexes. Démontrons un résultat utile :

Théorème

Soit A, B deux complexes. Soit r₁ et r₂ deux racines complexes conjuguées d'un polynôme d'ordre deux. Alors :

Ae^{ir_{1}t}+Be^{ir_{2}t}=\left[\left(A+B\right)\cos bt+i\left(A-B\right)\sin bt\right]e^{at}

Cela a pour conséquence, notamment, que les solutions réelles associées sont de la forme :

\left[\lambda \cos(bt)+\mu \sin(bt)\right]e^{at}

Démonstration

Notons $r_{1}=a+ib$ et $r_{2}={\bar {r_{1}}}=a-ib$ . Alors :

{\begin{aligned}Ae^{ir_{1}t}+Be^{ir_{2}t}&=Ae^{at+ibt}+Be^{at-ibt}\\\ &=Ae^{at}e^{ibt}+Be^{at}e^{-ibt}\\\ &=\left(Ae^{ibt}+Be^{-ibt}\right)e^{at}\end{aligned}}

On utilise alors l'identité d'Euler : e^iθ = cos(θ) + isin(θ).

{\begin{aligned}Ae^{ir_{1}t}+Be^{ir_{2}t}&=\left(A\cos bt+iA\sin bt+B\cos bt-iB\sin bt\right)e^{at}\\\ &=\left[\left(A+B\right)\cos bt+i\left(A-B\right)\sin bt\right]e^{at}\end{aligned}}

La partie réelle de cette dernière expression donne les coefficients λ et μ donnés dans l'énoncé.

Enfin, un théorème d'équivalence, parfois utile :

Théorème

Il est possible, pour tout A et B réels, de trouver C et D réels tels que l'égalité suivante est vérifiée

A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)=C\cos(\omega t+D)

Démonstration

On pose $M={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$ , alors :

A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)=M\left[{\frac {A}{M}}\cos(\omega t)+{\frac {B}{M}}\sin(\omega t)\right]

Il est alors possible de trouver $\phi$ tel que ${\frac {A}{M}}=\cos \phi$ et ${\frac {B}{M}}=\sin \phi$ , la quantité de départ s'écrit ainsi :

M\left[\cos(\omega t)\cos \phi +\sin(\omega t)\sin \phi \right]=M\cos(\omega t-\phi )

La démonstration s'achève en identifiant C et D.

Exemple : décroissance radioactive

L'équation régissant la décroissance radioactive d'un ensemble de N particules est :

{\dot {N}}=-\lambda N

D'après le chapitre sur les équations différentielles ordinaires linéaires d'ordre un, la solution est :

N\left(t\right)=N_{0}e^{-\lambda t}

Avec N₀ le nombre de particules à l'instant t = 0.

Exemple : ressort libre

Soit une masse m, assimilée à un point, astreinte à se déplacer selon un axe x. Elle est retenue par un ressort de raideur k, de longueur à vide nulle. Mettons cela en équation à partir des lois de Newton :

m{\ddot {x}}=-kx

Réécrivons-la sous une forme similaire à celle étudiée dans le chapitre précédent :

{\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x

Remarquons qu’il s'agit d'une équation homogène. Le formalisme introduit au chapitre 5 simplifiera l'étude de ce cas, mais on peut dors et déjà résoudre complètement cette équation avec les outils développés jusqu'ici.

Méthode 1 « astucieuse »

Supposons que la solution est une simple exponentielle : $x(t)=e^{\beta t}$ . Alors :

{\ddot {x}}(t)=\beta ^{2}x(t)

Ce qui est solution si $\beta =\pm i{\sqrt {\frac {k}{m}}}=\pm i\omega _{0}$ . Les deux solutions qu'on en tire étant linéairement indépendantes, toute solution à l'équation différentielle est de la forme :

x(t)=Ae^{i\omega _{0}t}+Be^{-i\omega _{0}t}

Pour des raisons physiques, la position doit être un nombre réel. On a donc, en fin de compte, une fonction sinusoïdale :

x(t)={\mathcal {A}}\cos \left(\omega _{0}t+\phi \right)

Méthode 2 « matricielle »

Posons, toujours comme dans le chapitre précédent, le vecteur ${\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\x\end{pmatrix}}$

On a alors l'équation différentielle :

{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\dot {x}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {k}{m}}\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\x\end{pmatrix}}

Les valeurs propres de la matrice carrée sont :

$\lambda _{1}=+i{\sqrt {\frac {k}{m}}}=+i\omega _{0}$ ;
$\lambda _{2}=-i{\sqrt {\frac {k}{m}}}=-i\omega _{0}$ .

La solution finale est :

{\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\x\end{pmatrix}}=\mu _{1}e^{i\omega _{0}t}{\vec {\Lambda }}_{1}+\mu _{2}e^{-i\omega _{0}t}{\vec {\Lambda }}_{2}

Le même argument physique que dans la première méthode impose des solutions réelles :

${\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\x\end{pmatrix}}={\mathcal {A}}{\begin{pmatrix}\omega _{0}\sin(\omega _{0}t+\phi )\\\cos(\omega _{0}t+\phi )\end{pmatrix}}$

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