Vecteur directeur

En mathématiques, on définit la notion de la manière suivante : soit $(D)$ une droite. On appelle vecteur directeur de $(D)$ tout vecteur ${\vec {U}}$ , non nul, qui possède la même direction que la droite $(D)$ .

Propriété : Deux vecteurs directeurs d'une même droite sont colinéaires.

Théorème — Soit une droite $(D)$ du plan repéré par le repère $(O;{\vec {i}};{\vec {j}})$ .
Si une équation de $(D)$ est $ax+by+c=0$ , alors les deux vecteurs de coordonnées respectives $(-b;a)$ et $(b;-a)$ sont des vecteurs directeurs de $(D)$ .

Par exemple, supposons que l'équation d'une droite soit $3x-2y+15=0$ , alors $(2;3)$ et $(-2;-3)$ sont tous les deux des vecteurs directeurs.

Démonstration

Soit un point $A(x;y)$ appartenant à $(D)$ .
On a alors $ax+by+c=0$ .
Soit le point $B(x-b;y+a)$ , qui est distinct de A puisque a et b ne sont pas tous les deux nuls ; on peut vérifier qu'il appartient aussi à $(D)$ :

$a(x-b)+b(y+a)+c=ax-ba+ba+by+c=0\,$

Or le vecteur

{\vec {AB}}\,

a pour coordonnées

(-b;a)\,

: c'est donc un vecteur directeur de la droite.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Direction », sur MathWorld
(en) Glossary, Nipissing University
(en) Finding the vector equation of a line
(en) Lines in a plane - Orthogonality; Distances, MATH-tutorial
(en) Coordinate Systems, Points, Lines and Planes

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