Variables de Mandelstam

Dans la limite relativiste, l'énergie de masse peut être négligée, donc par exemple :

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\approx 2p_{1}\cdot p_{2}\,}$

par ce que ${\displaystyle p_{1}^{2}=m_{1}^{2}}$ et ${\displaystyle p_{2}^{2}=m_{2}^{2}.}$

En résumé,

${\displaystyle s\approx }$	${\displaystyle 2p_{1}\cdot p_{2}\approx }$	${\displaystyle 2p_{3}\cdot p_{4}}$
${\displaystyle t\approx }$	${\displaystyle -2p_{1}\cdot p_{3}\approx }$	${\displaystyle -2p_{2}\cdot p_{4}}$
${\displaystyle u\approx }$	${\displaystyle -2p_{1}\cdot p_{4}\approx }$	${\displaystyle -2p_{3}\cdot p_{2}}$

Notez que

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}\,}$

avec ${\displaystyle m_{i}}$ la masse de la particule ${\displaystyle i}$ (et ${\displaystyle c=1}$).

Cette preuve nécessite les relations suivantes :

• Le carré de la quadri-impulsion est la masse de la particule (avec ${\displaystyle c=1}$),

  ${\displaystyle p_{i}^{2}=m_{i}^{2}}$

• Et la conservation de la quadri-impulsion,

  ${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}}$

  et donc

  ${\displaystyle p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}}$

En développant les carrés, on obtient

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}}$

${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}}$

${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}}$

Puis en les ajoutant, on obtient

${\displaystyle s+t+u=3p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+p_{4}^{2}+2p_{1}(p_{2}-p_{3}-p_{4})}$

Maintenant en utilisant le fait que ${\displaystyle p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}}$, on a que

${\displaystyle 2p_{1}(p_{2}-p_{3}-p_{4})=-2p_{1}^{2}}$

et donc

${\displaystyle s+t+u=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+p_{4}^{2}}$

Et finalement en utilisant ${\displaystyle p_{i}^{2}=m_{i}^{2}}$

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}}$

Le repère du centre de masse (CM) est aussi appelé repère d'impulsion nulle (IN). Il est souvent utile de disposer des quantités dynamiques exprimées en termes des variables de Mandelstam.

• ${\displaystyle E_{1cm}=(s+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})/2{\sqrt {s}}}$
• ${\displaystyle E_{2cm}=(s+m_{2}^{2}-m_{1}^{2})/2{\sqrt {s}}}$
• ${\displaystyle E_{3cm}=(s+m_{3}^{2}-m_{4}^{2})/2{\sqrt {s}}}$
• ${\displaystyle E_{4cm}=(s+m_{4}^{2}-m_{3}^{2})/2{\sqrt {s}}}$

et

• ${\displaystyle |\mathbf {p} _{1cm}|=|\mathbf {p} _{2cm}|={\sqrt {\lambda (s,m_{1}^{2},m_{2}^{2})}}/2{\sqrt {s}}}$
• ${\displaystyle |\mathbf {p} _{3cm}|=|\mathbf {p} _{4cm}|={\sqrt {\lambda (s,m_{3}^{2},m_{4}^{2})}}/2{\sqrt {s}}}$

où :

${\displaystyle \lambda (x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy-2xz-2yz}$

${\displaystyle =(x-({\sqrt {y}}+{\sqrt {z}})^{2})(x-({\sqrt {y}}-{\sqrt {z}})^{2})}$

À titre d'exemple démontrons la première de ces relations à savoir ${\displaystyle E_{1cm}=(s+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})/2{\sqrt {s}}}$

Pour ce faire nous aurons besoin de la relation pour s

${\displaystyle s=(E_{1cm}+E_{2cm})^{2}=E_{1cm}^{2}+2E_{1cm}E_{2cm}+E_{2cm}^{2}}$

(En effet la somme des impulsions est nulle dans le centre de masse)

ainsi que de la relation ${\displaystyle E_{icm}^{2}=\mathbf {p} _{icm}^{2}+m_{i}^{2}}$

⇒ ${\displaystyle E_{1cm}^{2}=\mathbf {p} _{1cm}^{2}+m_{1}^{2}}$

⇒ ${\displaystyle E_{1cm}={\sqrt {k^{2}+m_{1}^{2}}}}$

⇒ ${\displaystyle E_{2cm}={\sqrt {k^{2}+m_{2}^{2}}}={\sqrt {E_{1cm}^{2}-m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}}}$

Dès lors

${\displaystyle s=E_{1cm}^{2}+2E_{1cm}{\sqrt {E_{1cm}^{2}-m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}}+E_{1cm}^{2}-m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}$

${\displaystyle s-2E_{1cm}^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}=2E_{1cm}{\sqrt {E_{1cm}^{2}-m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}}}$

${\displaystyle (s-2E_{1cm}^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}=4E_{1cm}^{2}(E_{1cm}^{2}-m_{1}^{2}+m_{2}^{2})}$

En développant le carré

${\displaystyle (2E_{1cm}^{2})^{2}+(s+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}-4E_{1cm}^{2}(s+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})}$

${\displaystyle =4E_{1cm}^{2}(E_{1cm}^{2})+4E_{1cm}^{2}(-m_{1}^{2}+m_{2}^{2})}$

Après simplifications on obtient

${\displaystyle (s+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}=4E_{1cm}^{2}s}$

Et finalement

${\displaystyle E_{1cm}={\sqrt {(s+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}/4s}}=(s+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})/2{\sqrt {s}}}$

• Luc Marleau, Introduction à la physique des particules, Université Laval, Québec, Canada, 2017, 413 p. (lire en ligne).

• Diagramme de Feynman
• Effet Compton

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