Variété stable

Les variétés stables jouent un rôle central dans les systèmes dynamiques différentiables en temps continu. Cette notion est aussi au centre de l'homologie de Floer.

Soit ${\displaystyle F}$ une fonction différentiable sur une variété différentielle compacte ${\displaystyle M}$ de dimension ${\displaystyle n}$. Considérons une métrique riemannienne ${\displaystyle g}$ sur ${\displaystyle M}$. Le champ de gradient ${\displaystyle X}$ de ${\displaystyle F}$ est défini par

${\displaystyle g\left[grad\,F,.\right]=dF}$

Un point critique ${\displaystyle x}$ est dit non dégénéré lorsque la hessienne ${\displaystyle \nabla dF(x)}$ est une forme blinéaire non dégénérée sur ${\displaystyle T_{x}M}$. En apparence, la connexion de Levi-Cevita intervient dans la définition de la hessienne, mais en un point critique ${\displaystyle x}$, la définition de la hessienne ne dépend pas de la métrique. En particulier, la définition d'un point critique non dégénéré est intrinsèque à la variété.

Comme ${\displaystyle M}$ est compacte, le flot de grad F est complet et définit un groupe à un paramètre de difféomorphismes

${\displaystyle \phi _{t}:M\rightarrow M}$

Si ${\displaystyle x}$ est un point critique non dégénéré, on appelle variété stable ${\displaystyle W^{s}(x)=\left\{y,\lim _{t\rightarrow +\infty }d(x,\phi _{t}y)=0\right\}}$ Le résultat suivant est non élémentaire et ses implications sont larges et considérables.

Théorème : Sous les notations précédentes, la variété stable ${\displaystyle W^{s}(x)}$ est une sous-variété plongée de ${\displaystyle M}$, de dimension ${\displaystyle \mu (x)}$. De plus, l'espace tangent en l'élément x est :

${\displaystyle \,T_{x}W^{s}(x)=E^{s}(x)}$

Ici, ${\displaystyle \,\mu (x)}$ désigne l'indice de la hessienne, c'est-à-dire la dimension maximum d'un sous-espace sur lequel elle est définie négative.