Triangle orthique

Le triangle orthique d'un triangle de référence est le triangle ayant pour sommets les pieds des hauteurs du triangle de référence.

Dans un triangle ABC acutangle (triangle non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs, concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices du triangle orthique hAhBhC.

Les quadruplets de points (C, B, hC, hB) ; (B, A, hB, hA) et (A, C, hA, hC) sont cocycliques. Les centres des cercles en question sont les milieux des côtés du triangle ABC (selon le théorème de Thalès pour le cercle).

On a les égalités d'angles inscrits :

Perpendiculaires et parallèles aux côtés du triangle orthique

Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux rayons joignant le centre du cercle circonscrit aux sommets du triangle ABC.

Dans un triangle dont les angles sont aigus, l'orthocentre est le centre du cercle inscrit dans le triangle orthique.

On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC de centre O, et A', B' et C' les pieds des hauteurs issues de A,B, C respectivement.

Une étude des angles inscrits permet de montrer que (B'C') est parallèle à la tangente au cercle circonscrit en A. Donc (OA) est perpendiculaire à (B'C').

De même (OB) est perpendiculaire à (A'C') et (OC) est perpendiculaire à (A'B').

On peut dire aussi :

Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique.

Le triangle formé par les tangentes au cercle circonscrit est le triangle tangentiel, ses côtés sont donc parallèles à ceux du triangle orthique.

Le triangle A'B'C' est le triangle orthique de ABC, le triangle A1B1C1 est son triangle tangentiel .

Le triangle orthique est l'unique trajectoire d'un balle sur un billard triangulaire qui se referme en trois rebonds[1],[2].

Problème de Fagnano

Le triangle orthique est la solution au problème d'optimisation visant à trouver le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre.

Triangle médian du triangle orthique

Soit un triangle ABC non rectangle, soient A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement de A, B et de C, on note A1 et A2 les projections orthogonales de A’ sur (AB) et (AC), A3 et A4 les symétriques de A’ par rapport à A1 et A2.

La droite (A3A4) est parallèle à (A1A2), les points B’, C’, A3 et A4 sont alignés, la droite (A1A2) contient les milieux Q et R des côtés [A’C’] et [A’B’] du triangle orthique de ABC, (A1A2) est un des côtés de PQR, triangle médian du triangle orthique.

A3A4 est égal au périmètre du triangle orthique A’B’C’. Ce périmètre est égal à où S est l'aire du triangle ABC et où a, b, c sont égaux aux longueurs des côtés de ABC.

Références
  1. Elisabeth Busser et Gilles Cohen, 100 Jeux mathématiques du «Monde», Pole, coll. « Jeux - Tests et maths », , énoncé p. 70, solution p.99.
  2. Peyrol Caroline (Coordinnatrice) et Équipe d'élèves et d'enseignants des lycées Paul Eluard de Saint-Denis (93), Jacques Feyder d'Epinay sur Seine et du collège Jean Vilar de Villetaneuse, « Trajectoires périodiques et billard triangulaire », dans Actes du congrès “MATh.en.JEANS” en 1996, (lire en ligne), p. 129-130.

Articles connexes

Sources

Bibliographie
  • Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)
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