Triangle de Bernoulli

Pour tout entier naturel n et tout entier k entre 0 et n, le terme de la ligne d'indice n et de la colonne d'indice k est donné par:

${\displaystyle B_{n,k}=\sum _{p=0}^{k}{n \choose p},}$

i.e., la somme des k+1 premiers coefficients binomiaux de la ligne d'indice n du triangle de Pascal[1]. Les premières lignes du triangle de Bernoulli sont :

${\displaystyle {\begin{array}{cc|cccccc}&k&0&1&2&3&4&5\\n&&\\\hline 0&&1\\1&&1&2\\2&&1&3&4\\3&&1&4&7&8\\4&&1&5&11&15&16\\5&&1&6&16&26&31&32\end{array}}}$

Comme dans le triangle de Pascal, chaque terme du triangle de Bernoulli est la somme de deux termes de la ligne précédente, c'est-à-dire que :

${\displaystyle B_{n,k}=B_{n-1,k}+B_{n-1,k-1}.}$

L'initialisation ${\displaystyle B_{n,0}=1}$ est identique à celle du triangle de Pascal, mais pas ${\displaystyle B_{n,n}=2^{n}}$.

Comme dans le triangle de Pascal et d'autres triangles de construction similaire[2], la somme des termes le long de chemins diagonaux dans le triangle de Bernoulli peut être exprimée à partir des nombres de Fibonacci ou des termes d'une suite de Fibonacci[3].

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