Théorie de Dempster-Shafer

On définit la masse de la manière suivante :

• la masse de l’ensemble vide est 0 :

${\displaystyle m(\varnothing )=0.\,\!}$

• la somme des masses des autres sous-ensembles vaut 1 :

${\displaystyle \sum _{A\in {\mathcal {P}}(X)}m(A)=1.\,\!}$

La masse ${\displaystyle m(A)\,\!}$ d'un élément donné ${\displaystyle A\,\!}$ de l’ensemble des parties exprime la proportion de toutes les preuves disponibles affirmant que l'état actuel est ${\displaystyle A\,\!}$ et pas un autre état ou un sous-état de ${\displaystyle A\,\!}$. La valeur de ${\displaystyle m(A)\,\!}$ concerne donc seulement l’état ${\displaystyle A\,\!}$ et n’apporte aucun crédit aux sous-ensembles de ${\displaystyle A\,\!}$, chacun d’eux ayant, par définition, sa propre masse.

À partir de la valeur de la masse d’un état, on peut définir un intervalle de probabilité. Cet intervalle contient la valeur précise de la probabilité de l’état, et est borné par deux mesures appelées croyance et plausibilité:

${\displaystyle \operatorname {bel} (A)\leq P(A)\leq \operatorname {pl} (A).\,\!}$

La croyance ${\displaystyle \operatorname {bel} (A)\,\!}$ d'un ensemble ${\displaystyle A\,\!}$ est définie comme la somme des masses de tous ses sous-ensembles (pas nécessairement propres) :

${\displaystyle \operatorname {bel} (A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}m(B).}$

La plausibilité ${\displaystyle \operatorname {pl} (A)\,\!}$ est définie comme la somme des masses de tous les ensembles ${\displaystyle B\,\!}$ qui intersectent ${\displaystyle A\,\!}$:

${\displaystyle \operatorname {pl} (A)=\sum _{B\mid B\cap A\neq \varnothing }m(B)}$

Ces deux mesures sont liées : ${\displaystyle \operatorname {pl} (A)=1-\operatorname {bel} ({\overline {A}}).\,\!}$

De ce fait, la connaissance d’une seule de ces valeurs (masse, croyance ou plausibilité) suffit à déduire les deux autres.

Le problème qui se pose maintenant est de savoir comment combiner deux ensembles indépendants et leurs masses. La règle de combinaison originale, connue en tant que règle de combinaison de Dempster, est une généralisation du théorème de Bayes. Ce théorème met clairement en valeur l’accord entre des sources multiples et ignore les conflits grâce à un facteur de normalisation. L’utilisation de ce théorème pose ainsi problème lorsque des conflits significatifs ont lieu entre différentes sources d’information.

Ici, la combinaison ou masse jointe est calculée à partir des deux masses ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ et ${\displaystyle m_{2}\,\!}$ de la manière suivante :

${\displaystyle m_{1,2}(\varnothing )=0\,\!}$

${\displaystyle m_{1,2}(A)={\frac {1}{1-K}}\sum _{B\cap C=A\neq \varnothing }m_{1}(B)m_{2}(C)\,\!}$

où

${\displaystyle K=\sum _{B\cap C=\varnothing }m_{1}(B)m_{2}(C).\,\!}$

${\displaystyle K\,\!}$ est une mesure du niveau de conflit entre les deux masses. Le facteur de normalisation ${\displaystyle 1-K\,\!}$ permet d’ignorer ces conflits et d’attribuer toute masse impliquée dans le conflit à l’ensemble nul. De ce fait, cette opération donne des résultats contre-intuitifs face à des conflits significatifs, dans certains contextes.

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• Théorème de Bayes et Inférence bayésienne
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• Modèle des Croyances Transférables (MCT)
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• (en) What is Dempster-Shafer's model?, Philippe SMETS1, IRIDIA, Université Libre de Bruxelles [PDF]

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