Théorie d'Iwasawa

Les objets de base de la théorie d'Iwasawa sont les ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extensions ; c'est-à-dire des extensions galoisiennes dont le groupe de Galois est le groupe profini ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, pour ${\displaystyle p}$ un nombre premier fixé. Par la correspondance de Galois, la donnée d'une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension est équivalente à celle d'une tour d'extensions ${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{n}\subset \dots \subset K_{\infty }}$ telle que chaque ${\displaystyle K_{n}}$ est galoisienne sur ${\displaystyle K}$ de groupe de Galois ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$.

• Pour chaque corps de nombres, une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension particulière peut-être construite par adjonction de racines ${\displaystyle p}$-ièmes de l'unité : la ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension cyclotomique.
• Sous la conjecture de Leopoldt, un corps de nombres admet ${\displaystyle r_{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extensions linéairement indépendantes, où ${\displaystyle r_{2}}$ est le nombre de couples de plongements complexes conjugués du corps considéré ; ce qui peut encore s'énoncer en disant que le compositum de toutes ces extensions a pour groupe de Galois ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{r_{2}+1}}$.

Le théorème fondateur de la théorie, dû à Iwasawa, porte sur le comportement du groupe des classes le long d'une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension. Soit ${\displaystyle p\,}$ un nombre premier, ${\displaystyle K\,}$ un corps de nombres, et ${\displaystyle \bigcup _{n}K_{n}\,}$ une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\,}$-extension de ${\displaystyle K\,}$. Pour chaque ${\displaystyle n\,}$, on s'intéresse au cardinal du ${\displaystyle p\,}$-Sylow du groupe des classes de ${\displaystyle K_{n}\,}$ ; notons le ${\displaystyle p^{e_{n}}\,}$. Alors, il existe des entiers ${\displaystyle \mu \,}$, ${\displaystyle \lambda \,}$ (positifs), ${\displaystyle \nu \,}$ (de signe quelconque), tels que pour ${\displaystyle n\,}$ assez grand, on ait :

${\displaystyle e_{n}=\mu p^{n}+\lambda n+\nu \,}$

Le développement des idées d'Iwasawa peut se faire selon plusieurs axes :

• on considère le comportement le long des étages d'une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension d'autres objets que le groupe de classes, notamment du groupe de Mordell-Weil d'une courbe elliptique. On parle de théorie d'Iwasawa des courbes elliptiques.
• on considère le comportement des objets arithmétiques non plus le long d'une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension, mais dans des extensions infinies ayant d'autres groupes de Galois : par exemple ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{d}}$, ou plus généralement un groupe analytique p-adique. Se développe ainsi une théorie d'Iwasawa non commutative, notamment sous l'impulsion de John Coates.