Théorème de modularité

La (partie affine d'une) courbe elliptique E définie sur ℚ (le corps des nombres rationnels) est donnée par une équation du type

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6},}$

où les coefficients sont des entiers. On peut choisir une telle équation minimale (c'est-à-dire que le discriminant est minimal).

Si p est un nombre premier, on peut réduire modulo p les coefficients de cette équation minimale définissant E ; pour toutes les valeurs de p, sauf un nombre fini, l'équation réduite définit une courbe elliptique sur le corps fini F_p. L'équation réduite a n_p solutions[note 1]. On peut alors considérer la suite a_p = p – n_p qui est un invariant important de la courbe elliptique E.

Par ailleurs, une forme modulaire donne aussi naissance à une suite de coefficients. Une courbe elliptique telle que la suite des a_p est en accord avec celle obtenue à partir d'une forme modulaire est appelée modulaire. Le théorème de modularité prédit que :

Une version faible fut énoncée par Yutaka Taniyama en septembre 1955, au cours d'une session de problèmes lors d'une conférence à Tokyo : il demanda s'il était possible de trouver une forme dont la transformée de Mellin donnerait la fonction L de Hasse-Weil de la courbe elliptique. Dans une série d'articles, Gorō Shimura construisit pour chaque forme modulaire dotée de bonnes propriétés (en particulier de poids 2 et à coefficients rationnels) une courbe elliptique adéquate, c'est-à-dire qu'il établit la moitié du dictionnaire entre « elliptique » et « modulaire ». Taniyama se suicida en 1958.

Cette conjecture fut reformulée par André Weil dans les années 1960, lorsqu'il montra que la modularité résulterait de propriétés simples sur les fonctions L de Hasse-Weil[note 2]. Cette formulation rendit la conjecture plus convaincante et le nom de Weil lui fut longtemps associé, parfois de manière exclusive[note 3]. Elle devint aussi une composante importante dans le programme de Langlands.

Dans les années 1960, Yves Hellegouarch avait étudié les propriétés de courbes elliptiques associées à des contre-exemples au dernier théorème de Fermat. Reprise dans les années 1980 par Gerhard Frey, et précisée (en) par Jean-Pierre Serre, cette idée permit à Ken Ribet de démontrer que la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil pour ces courbes « de Hellegouarch-Frey » impliquait le dernier théorème de Fermat. En 1994, Andrew Wiles, avec l'aide de son ancien élève Richard Taylor, démontra un cas particulier de la conjecture (le cas des courbes elliptiques semi-stables), qui suffisait pour la preuve du dernier théorème de Fermat[2].

La conjecture complète fut finalement démontrée en 1999 par Breuil, Conrad, Diamond et Taylor en s'appuyant sur les idées de Wiles.

On peut en déduire un certain nombre de résultats dans la lignée du dernier théorème de Fermat. Par exemple : « aucun cube n'est la somme de deux puissances n-ièmes premières entre elles avec n ≥ 3 ».

En mars 1996, Wiles partagea le prix Wolf avec Robert Langlands. Bien qu'aucun des deux n'ait démontré la conjecture complète, il fut reconnu qu'ils avaient établi les résultats clés menant à sa démonstration.

La conjecture de Serre (en) « pour le niveau 1 », dont lui-même avait montré qu'elle entraînerait celle de Shimura-Taniyama-Weil et (directement) le dernier théorème de Fermat, a été démontrée en 2005 par Chandrashekhar Khare et Jean-Pierre Wintenberger en se fondant sur les travaux de Wiles. Ils démontrèrent le cas général en 2008.