Théorème de Rouché-Fontené

Un système d'équations linéaires à n variables, de la forme AX = b, possède une solution si et seulement si le rang de la matrice des coefficients A est égal à celui de la matrice augmentée (A|b). S'il existe des solutions, elles forment alors un sous-espace affine de ℝⁿ de dimension n − rang(A). En particulier :

• si n = rang(A), la solution est unique ;
• sinon, il existe une infinité de solutions.

• Considérons le système d'équations

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 2.

La matrice des coefficients est

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{pmatrix}}}$

et la matrice augmentée est

${\displaystyle (A|B)=\left({\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right).}$

Puisque ces deux matrices ont le même rang, à savoir 2, il existe au moins une solution ; et puisque leur rang est strictement inférieur au nombre d'inconnues (ce dernier étant 3) il y a une infinité de solutions.

• En revanche, si l'on considère le système

x + y + 2z = 3

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 5,

la matrice des coefficients est

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{pmatrix}}}$

et la matrice augmentée est

${\displaystyle (A|B)=\left({\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right).}$

Dans cet exemple, la matrice des coefficients est de rang 2, tandis que la matrice augmentée est de rang 3 ; donc ce système d'équations n'a pas de solution. En effet, une augmentation du nombre de lignes linéairement indépendantes rend le système d'équations incohérent.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rouché-Capelli theorem » (voir la liste des auteurs).

• (en) Alberto Carpinteri (it), Structural Mechanics : A Unified Approach, Taylor & Francis, 1997, 761 p. (ISBN 978-0-419-19160-5), p. 74

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