Théorème de Mittag-Leffler

Soit ${\displaystyle D}$ un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ et ${\displaystyle E\subset D}$ un sous-ensemble discret fermé. Pour tout ${\displaystyle a}$ dans ${\displaystyle E}$, soit ${\displaystyle p_{a}(z)}$ un polynôme en ${\displaystyle 1/(z-a)}$. Alors il existe une fonction méromorphe ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle D}$ telle que, quel que soit ${\displaystyle a\in E}$, ${\displaystyle f(z)-p_{a}(z)}$ est holomorphe en ${\displaystyle a}$. En particulier, la partie négative du développement en série de Laurent de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a}$ est ${\displaystyle p_{a}(z)}$.

Nous donnons ici une ébauche de preuve. On remarque que dans le cas où ${\displaystyle E}$ est fini, il suffit de prendre ${\displaystyle f(z)=\sum _{a\in E}p_{a}(z)}$. Si ${\displaystyle E}$ n'est pas fini, on considère la somme finie ${\displaystyle S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)}$ où ${\displaystyle F}$ est un sous-ensemble fini de ${\displaystyle E}$. Même si ${\displaystyle S_{F}(z)}$ ne converge pas forcément quand F s'approche E, on peut toujours soustraire des fonctions rationnelles bien choisies dont les pôles ne sont pas dans D (données par le Théorème de Runge), sans changer la partie négative du développement en série de Laurent de ${\displaystyle S_{F}(z)}$, et ainsi garantir la convergence.

Supposons que l'on veuille une fonction méromorphe avec des pôles simples de résidu 1 en tous les entiers positifs. Avec les notations précédentes, soit ${\displaystyle p_{k}=1/(z-k)}$ et ${\displaystyle E=\mathbb {N} }$. Le théorème de Mittag-Leffler prouve l'existence d'une fonction méromorphe ${\displaystyle f}$ dont la partie négative du développement en série de Laurent en ${\displaystyle z=k}$ sera ${\displaystyle p_{k}(z)}$ pour tout entier ${\displaystyle k}$. Cette fonction ${\displaystyle f}$ vérifie les propriétés souhaitées.

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