Théorème de Hille-Yosida

Soit ${\displaystyle X}$ un espace de Banach ; on dit que la famille d'opérateurs linéaires ${\displaystyle \left(S(t)\right)_{t\geq 0}}$ est un semi-groupe (fortement continu) si :

1. ${\displaystyle \forall t\geq 0,~S(t)\in {\mathcal {L}}(X)}$
2. ${\displaystyle S(0)=\mathrm {Id} _{{\mathcal {L}}(X)}}$
3. ${\displaystyle \forall (s,t)\geq 0,~S(s+t)=S(s)\circ S(t)}$
4. ${\displaystyle \forall x\in X,~\lim _{t\rightarrow 0^{+}}S(t)x=x}$

La condition 4 est équivalente à ce que ${\displaystyle \forall x\in X,~t\mapsto S(t)x~\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ^{+},X)}$.

Si on remplace 4 par : ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0^{+}}\|S(t)-Id\|_{{\mathcal {L}}(X)}=0}$ on dit que ${\displaystyle \left(S(t)\right)_{t\geq 0}}$ est uniformément continu.

On retrouve (vaguement) avec cette définition la notion de famille à un paramètre de difféomorphismes bien connue en théorie des équations différentielles ordinaires.

On définit le générateur infinitésimal ${\displaystyle (A,D(A))}$ d'un semi-groupe fortement continu ${\displaystyle \left(S(t)\right)_{t\geq 0}}$ comme l'opérateur non borné ${\displaystyle A:D(A)\subset X\longrightarrow X}$ où :

${\displaystyle D(A)=\left\{x\in X,~\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {S(t)x-x}{t}}{\text{ existe}}\right\}}$

${\displaystyle \forall x\in D(A),~Ax=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {S(t)x-x}{t}}}$

Dans le cas où ${\displaystyle D(A)=X}$ et ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)}$ la famille d'opérateurs ${\displaystyle \left(e^{tA}\right)_{t\geq 0}}$ (définie classiquement par sa série) est un semi-groupe fortement continu de générateur infinitésimal ${\displaystyle A}$: c'est pourquoi on note parfois abusivement ${\displaystyle S(t)=e^{tA}}$.

On dit que le semi-groupe ${\displaystyle \left(S(t)\right)_{t\geq 0}}$ est de contraction si ${\displaystyle \forall t\geq 0,~\|S(t)\|_{{\mathcal {L}}(X)}\leq 1}$.

On commence à voir apparaître le lien entre le problème (E) et la notion de semi-groupe. Pour préciser, il faut maintenant introduire la notion d'opérateur dissipatif.

• Un opérateur ${\displaystyle (A,D(A))}$ est dissipatif si ${\displaystyle \forall x\in D(A),\forall \lambda >0,~\|x-\lambda Ax\|\geq \|x\|}$. Dans le cas où ${\displaystyle X=H}$ est hilbertien on montre que A est dissipatif si et seulement si ${\displaystyle \forall x\in D(A),\,{\mathfrak {Re}}(\langle Ax,x\rangle _{H})\leq 0}$.

Remarque: Si ${\displaystyle (A,D(A))}$ est un opérateur dissipatif alors ${\displaystyle \forall \lambda >0}$ l'opérateur ${\displaystyle (\mathrm {Id} -\lambda A)}$ est injectif car ${\displaystyle (I-\lambda A)x=0\Rightarrow 0\leq \|x\|\leq \|(I-\lambda A)x\|=0\Rightarrow x=0}$.

• Si de plus ${\displaystyle \forall \lambda >0}$, ${\displaystyle \mathrm {Id} -\lambda A}$ est surjectif on dit que ${\displaystyle (A,D(A))}$ est maximal-dissipatif (ou m-dissipatif). On peut montrer que ${\displaystyle \forall \lambda >0}$, ${\displaystyle \mathrm {Id} -\lambda A}$ est surjectif si et seulement si

${\displaystyle \exists \lambda _{0},\mathrm {Id} -\lambda _{0}A~{\text{surjectif}}}$.

En pratique pour montrer qu'un opérateur est m-dissipatif on montre d'abord à la main qu'il est dissipatif et on résout ensuite un problème variationnel pour une valeur ${\displaystyle \lambda _{0}}$ bien choisie (par exemple avec le théorème de Lax-Milgram, voir exemple de l'équation de la chaleur traité plus bas).

Dans ce cas l'opérateur ${\displaystyle (\mathrm {Id} -\lambda A)}$ est un isomorphisme (a priori non continu) de ${\displaystyle L(A,X)}$ et on note ${\displaystyle J_{\lambda }=(\mathrm {Id} -\lambda A)^{-1}}$, qu'on appelle la résolvante de A. De plus,

${\displaystyle \|J_{\lambda }y\|_{X}\leq \|(\mathrm {Id} -\lambda A)[J_{\lambda }y]\|_{X}\leq \|y\|_{X}}$, ${\displaystyle J_{\lambda }\in {\mathcal {L}}\left((X,\|.\|_{X}),(D(A),\|.\|_{X})\right)}$.

Nous allons voir que cette propriété de continuité peut être améliorée (on va rendre moins fine la topologie sur ${\displaystyle (D(A),\|.\|_{X})}$ en munissant ${\displaystyle D(A)}$ d'une norme ${\displaystyle \|.\|_{D(A)}}$).

Propriété 1: si ${\displaystyle (A,D(A))}$ est m-dissipatif alors c'est un opérateur fermé.

Corollaire 1 : pour ${\displaystyle x\in D(A)}$ on pose ${\displaystyle \|x\|_{D(A)}=\|x\|_{X}+\|Ax\|_{X}}$. Alors ${\displaystyle \|.\|_{D(A)}}$ est une norme pour laquelle ${\displaystyle D(A)}$ est un espace de Banach et ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}\left((D(A),\|.\|_{A}),(X,\|.\|_{X})\right)}$.

Propriété 2 : si ${\displaystyle H}$ est un espace hilbertien et ${\displaystyle A:D(A)\subset H\longrightarrow H}$ est m-dissipatif alors il est à domaine dense.

Propriété 3 : réciproquement si ${\displaystyle A:D(A)\subset H\longrightarrow H}$ est de domaine dense, dissipatif, fermé et tel que son adjoint ${\displaystyle (A^{*},D(A^{*}))}$ est dissipatif alors ${\displaystyle (A,D(A))}$ est m-dissipatif.

Corollaire 3 : toujours dans le cadre hilbertien

1. si ${\displaystyle (A,D(A))}$ est dissipatif autoadjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif,
2. si ${\displaystyle (A,D(A))}$ est anti-adjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif.

Remarque : dans ce dernier résultat, la condition de dissipativité n'est pas nécessaire car ${\displaystyle (A,D(A))}$ anti-adjoint entraîne que ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle _{H}=0}$ donc la dissipativité, voir l'exemple de l'équation des ondes plus bas.

Le point 1 du théorème précédent peut être réécrit en termes de résolvante :

1. ' ${\displaystyle (A,D(A))}$, opérateur fermé à domaine dense, vérifie ${\displaystyle (0,+\infty )\subset \rho (A)}$ et ${\displaystyle \|R_{\lambda }\|_{{\mathcal {L}}(X)}\leq {\frac {1}{\lambda }}}$ pour tout ${\displaystyle \lambda >0}$.

Ainsi sous ces hypothèses et d'après le théorème 2 pour toute condition initiale ${\displaystyle x_{0}\in D(A)}$ il existe une unique solution forte ${\displaystyle t\mapsto x(t)}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ^{+},(D(A),\|.\|_{D(A)}))\cap {\mathcal {C}}^{1}(\mathbb {R} ^{+*},(X,\|.\|_{X}))}$. Lorsque la condition initiale est prise quelconque dans X on a une solution faible ${\displaystyle t\mapsto x(t)=S(t)x}$ de classe seulement ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ^{+},(X,\|.\|_{X}))}$ (et on montre que toute solution faible est limite dans ${\displaystyle X}$ de solutions fortes).

On constate que la régularité de la solution est étroitement liée au choix de la condition initiale en fonction du domaine de A : il est donc naturel de penser qu'en imposant plus de « régularité » à ${\displaystyle x_{0}}$ on obtienne plus de régularité sur les solutions. Plus précisément on pose pour ${\displaystyle k\geq 2}$, ${\displaystyle D(A^{k})=\{x\in D(A^{k-1}),~Ax\in D(A^{k-1})\}}$. Alors on a le théorème suivant.

On se donne ${\displaystyle \Omega }$ un ouvert borné de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ et on cherche à résoudre l'équation de la chaleur

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u(x,t)-\Delta u(x,t)=0\\u(x,0)=u_{0}(x)\end{cases}}}$

sur ${\displaystyle (x,t)\in \Omega \times [0,+\infty ]}$ pour une condition initiale donnée.

On peut réécrire cette équation aux dérivées partielles sous la forme d'une équation différentielle ordinaire ${\displaystyle y'(t)=Ay(t)}$ en posant ${\displaystyle X=H=L^{2}(\Omega )}$, ${\displaystyle y(t)=u(.,t)\in H}$ et en définissant ${\displaystyle (A,D(A))}$ par ${\displaystyle D(A)=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ et ${\displaystyle Ax=\Delta x}$ pour tout ${\displaystyle x\in D(A)}$. Nous sommes dans le bon cadre pour utiliser la théorie des semi-groupes et le théorème de Hille-Yosida ; reste à montrer que l'opérateur A est m-dissipatif.

Il est bien connu que le laplacien est un opérateur autoadjoint :

${\displaystyle \langle Au,v\rangle _{H}=\int _{\Omega }(\Delta u)v=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\int _{\Omega }u(\Delta v)=\langle u,Av\rangle _{H}}$

par double intégration par parties, et que ${\displaystyle D(A)}$ est dense dans ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$, il suffit donc de montrer qu'il est dissipatif ou de façon équivalente que ${\displaystyle \Re (\langle Ax,x\rangle _{H})\leq 0}$. Or tout ${\displaystyle x\in D(A)=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$ est de trace nulle, donc en intégrant par parties ${\displaystyle \Re (\langle Ax,x\rangle _{H})=-\int _{\Omega }\|\nabla x\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\leq 0}$.

Le corollaire 3 et le théorème de Hille-Yosida permettent enfin de conclure quant à l'existence-unicité et la régularité des solutions. On remarque de plus que

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\|y(t)\|_{H}^{2}\right)=2\langle y'(t),y(t)\rangle _{H}=2\langle Ay(t),y(t)\rangle _{H}\leq 0}$

On retrouve, bien sûr, le côté dissipatif et irréversible de l'équation de la chaleur.

L'équation des ondes homogène se formule dans un domaine ${\displaystyle \Omega }$ suffisamment régulier (c'est-à-dire ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ en pratique) et sur un intervalle de temps ${\displaystyle [0,T)}$ (avec ${\displaystyle T>0}$) selon

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcll}u_{tt}(t,x)-\Delta u(t,x)&=&0&\forall (t,x)\in (0,T)\times \Omega \\u(0,x)&=&f(x)&\forall x\in \Omega \\u_{t}(0,x)&=&g(x)&\forall x\in \Omega \end{array}}\right.}$

On se place dans la théorie des semi-groupes en mettant l'équation précédente au premier ordre en temps. On pose alors

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&I\\\Delta &0\end{array}}\right)}$, ${\displaystyle {\mathcal {Y}}=\left({\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right)}$

(avec ${\displaystyle v=u'}$) et

${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{0}=\left({\begin{array}{c}f\\g\end{array}}\right).}$

L'équation devient alors

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcll}{\mathcal {Y}}'(t)&=&{\mathcal {A}}{\mathcal {Y}}(t)\\{\mathcal {Y}}(0)&=&{\mathcal {Y}}_{0}\end{array}}\right.}$.

Le domaine du Laplacien étant ${\displaystyle D(\Delta )=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$, celui de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est ${\displaystyle D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )}$ sur ${\displaystyle H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )}$. Les conditions initiales seront alors prises dans ${\displaystyle H}$. Le produit scalaire dans ${\displaystyle H}$ est défini pour tout couple ${\displaystyle (u,v)}$ dans ${\displaystyle H}$ (${\displaystyle u=(u_{1},u_{2})}$ et ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2})}$) par ${\displaystyle (u,v)_{H}=(\nabla u_{1},\nabla v_{1})_{L^{2}(\Omega )}+(u_{2},v_{2})_{L^{2}(\Omega )}.}$

Reste à vérifier que nous sommes bien dans les conditions d'application du théorème de Hille-Yosida :

1. ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ est dense dans ${\displaystyle H}$.
2. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est fermé.
3. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est dissipatif. Ce point mérite une preuve.