Théorème de Birkhoff (relativité)

En relativité générale, le théorème de Birkhoff affirme que toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein doit être statique et asymptotiquement plate. C'est, en d'autres termes, un théorème d'unicité[1],[2],[3] en vertu duquel toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein dans le vide est localement isométrique à la solution de Schwarzschild[4],[5],[6].

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Birkhoff.

Histoire

L'éponyme du théorème de Birkhoff est le mathématicien américain George D. Birkhoff (-) qui l'a établi en [7],[8],[9].

À la suite des travaux d'Ernst Schmutzer[10] et de Hubert Goenner[11], et de leur citation par Hans-Jürgen Schmidt[12] puis Stanley Deser et Joel Franklin[13], il est désormais admis qu'il avait déjà été publié deux ans plus tôt par un physicien norvégien alors méconnu, Jørg Tofte Jebsen (en)[14]. Depuis, il est souvent question du « théorème de Jebsen-Birkhoff » dans les publications scientifiques[15]. D'après Deser et Franklin[13], le théorème a également été obtenu indépendamment par W. Alexandrow dès [16] et par J. Eisland deux ans plus tard[17].

Justification intuitive

L'idée du théorème de Birkhoff est qu'un champ gravitationnel de symétrie sphérique doit être généré par un objet massif à l'origine : s'il y avait une autre concentration de masse-énergie ailleurs, cela perturberait la symétrie sphérique, donc, on peut s'attendre à ce que la solution représente un objet isolé. Le champ devrait disparaître à grande distance de l'objet, ce qui correspond partiellement à une solution asymptotiquement plate. Ainsi, cette part du théorème correspond à ce que l'on attend du fait que la gravitation newtonienne est un cas limite de la relativité générale.

Conséquences

La conclusion que le champ extérieur doit être stationnaire est plus surprenante, et a une conséquence importante. Considérons une étoile sphérique de masse fixe soumise à des pulsations sphériques. Alors, le théorème de Birkhoff dit que sa géométrie extérieure doit obéir à la métrique de Schwarzschild : le seul effet de la pulsation est de changer la position de la surface stellaire. Cela signifie qu'une étoile soumise à des pulsations sphériques ne peut pas émettre d'ondes gravitationnelles.

Une autre conséquence intéressante du théorème de Birkhoff est que pour une fine couche sphérique, la solution intérieure doit obéir à la métrique de Minkowski. En d'autres termes, le champ gravitationnel doit s'annuler à l'intérieur d'une couche sphérique. Ceci est en accord avec la gravitation newtonienne.

Généralisations

Le théorème de Birkhoff peut être généralisé : toute solution à symétrie sphérique des équations de champ d'Einstein-Maxwell doit être stationaire et asymptotiquement plate, ce qui implique que la géométrie extérieure d'une étoile chargée sphérique doit correspondre à celle d'un trou noir de Reissner-Nordström.

Notes et références
  1. Bachelot 1993, p. 2.
  2. Bachelot 1996, p. 3.
  3. Vasset 2009, p. 64.
  4. Dul 2016, p. 7.
  5. Reall 2017, p. 11.
  6. Zegers 2005, p. 1.
  7. Birkhoff 1923.
  8. Spagnou 2017, 4e part., chap. 3, § 4.
  9. Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Birkhoff (théorème de), p. 79, col. 2.
  10. Schmutzer 1968.
  11. Goenner 1970.
  12. Schmidt 1997.
  13. Deser et Franklin 2005, n. 5.
  14. (en) Nils Voje Johansen et Finn Ravndal, « On the discovery of Birkhoff's theorem », General Relativity and Gravitation, vol. 38, no 3,‎ , p. 537-540 (DOI 10.1007/s10714-006-0242-0, arXiv physics/0508163v2).
  15. (en) Anne Marie Nzioki, Rituparno Goswami et Peter K. S. Dunsby, « Jebsen-Birkhoff theorem and its stability in f(R) gravity », Physical Review D, vol. 89,‎ , p. 064050 (DOI 10.1103/PhysRevD.89.064050).
  16. Alexandrow 1923.
  17. Eiesland 1925.
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Birkhoff's theorem (relativity) » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie
  • (en) Salvatore Capozziello et Valerio Faraoni, Beyond Einstein Gravity : A Survey of Gravitational Theories for Cosmology, Springer Science & Business Media, , 447 p. (présentation en ligne), chap. 4 (« Spherical symmetry »), p. 139.
  • [Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] Michael P. Hobson, George P. Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais par de l'anglais américain par Loïc Villain, révision scientifique par Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles et Paris, De Boeck Supérieur, coll. « Physique », , 1re éd., 1 vol., XX-554 p., 21,6 × 27,6 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, EAN 9782804101268, OCLC 690272413, notice BnF no b421421742, SUDOC 140535705, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 9 (« Géométrie de Schwarzschild »), § 9.3 (« Théorème de Birkhoff »), p. 199.
  • (en) Ray d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, , 400 p. (ISBN 978-0-19-859686-8). Voir la section 14.6 pour une preuve du théorème de Birkhoff, et la section 18.1 pour le théorème de Birkhoff généralisé.
  • [Spagnou 2017] Pierre Spagnou, Les mystères du temps : de Galilée à Einstein, Paris, CNRS Éditions, coll. « Le banquet scientifique », , 1re éd., 1 vol., 277 p., 15 × 23 cm (ISBN 978-2-271-08911-3, EAN 9782271089113, OCLC 973489513, notice BnF no FRBNF45206523, SUDOC 198491859, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 4 (« Le temps de la relativité générale »), sect. 3 (« La métrique de Schwarzschild »), § 4 (« Le théorème de Birkhoff »).
  • [Zegers 2005] (en) Robin Zegers, « Birkhoff's theorem in Lovelock gravity », Journal of Mathematical Physics, vol. 46, no 7,‎ , art. no 072502, 5 p. (DOI 10.1063/1.1960798, Bibcode 2005JMP....46g2502Z, arXiv gr-qc/0505016, résumé, lire en ligne, consulté le ).
Publications du théorème
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Exemples de démonstration du théorème
Dictionnaires
Communications et exposés
Cours
Thèses
  • [Dul 2016] (en) Filip Dul, « The geometry of spacetime and its singular nature », Honors Scholar Theses, no 497,‎ , 32 p., § 2.2 (« Birkhoff's theorem »), p. 7-10 (résumé, lire en ligne, consulté le ).
  • [Vasset 2009] Nicolas Vasset, Quelques aspects des horizons de trous noirs en relativité numérique (thèse de doctorat en astronomie et astrophysique préparée, sous la direction de Jérôme Novak, au Laboratoire Univers et Théories, et soutenue le ), Paris, Université Paris-VII – Paris-Diderot, , 1 vol., 171 p., 30 cm (OCLC 690346916, SUDOC 137115849, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

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