Théorème d'Abel (analyse)

En mathématiques, le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, nommé d'après Niels Henrik Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Énoncé

Théorème — Si une série entière $\sum a_{n}z^{n}$ converge en un point $z_{0}$ , alors la convergence est uniforme sur $[0,z_{0}]$ (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment).

La démonstration[1] repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.

Remarque : dans le cas où la série $\sum a_{n}z_{0}^{n}$ est absolument convergente, le résultat est trivial. En effet, sous cette hypothèse, $\sum a_{n}z^{n}$ converge même normalement sur le disque fermé de centre $0$ et de rayon $\left|z_{0}\right|$ .

Exemples

Soit la série de Mercator $f(x)=-\sum _{n\geq 1}{\frac {(-x)^{n}}{n}}=\ln(1+x)$ pour $|x|<1$ .Comme la série harmonique alternée $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}$ converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit sa somme du théorème d'Abel : $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}=-\lim _{1^{-}}f=-\ln 2$ .
Soit $g(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan x$ pour $|x|<1$ .Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$ converge, d'où la formule de Leibniz : $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=\lim _{1^{-}}g=\arctan 1={\frac {\pi }{4}}$ .
Soient $\Sigma a_{n}$ et $\Sigma b_{n}$ deux séries convergentes et $\Sigma c_{n}$ leur produit de Cauchy : $c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}$ .On déduit du théorème d'Abel[2] que si la série $\Sigma c_{n}$ converge alors sa somme est égale au produit des deux sommes $A=\Sigma a_{n}$ et $B=\Sigma b_{n}$ : $\Sigma c_{n}=C\Rightarrow C=AB$ .

Réciproque partielle

Tauber[3] a démontré en 1897[4] que sous l'hypothèse a_n = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse a_n = O(1/n) suffit[5]. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood en est une généralisation.

Notes et références

Voir par exemple la section correspondante de la leçon « Série entière » sur Wikiversité.
Voir par exemple le chapitre « Produit de Cauchy » de la leçon sur les séries sur Wikiversité.
(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Alfred Tauber », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
(de) A. Tauber, « Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen », Monatshefte für Mathematik (de), vol. 8,‎ 1897, p. 273-277 (lire en ligne).
Ceci fournit un autre argument pour traiter les deux premiers exemples ci-dessus.

Articles connexes

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[1] Voir par exemple la section correspondante de la leçon « Série entière » sur Wikiversité.

[2] Voir par exemple le chapitre « Produit de Cauchy » de la leçon sur les séries sur Wikiversité.

[3] (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Alfred Tauber », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).

[4] (de) A. Tauber, « Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen », Monatshefte für Mathematik (de), vol. 8,‎ 1897, p. 273-277 (lire en ligne).

[5] Ceci fournit un autre argument pour traiter les deux premiers exemples ci-dessus.