Taux de distorsion harmonique pondéré

Le taux de distorsion harmonique pondéré, aussi appelé Weighted Total Harmonic Distorsion (WTHD) dans la littérature, est une méthode de l'électrotechnique et de l'électronique de puissance destinée à évaluer la qualité d'une stratégie de modulation de largeur d'impulsion (MLI) appliqué à une charge à composante résistive et inductive importante, dont l'avantage est de ne pas dépendre des paramètres du système considéré. Elle s'applique entre autres à un onduleur connecté à un moteur électrique[1].

Définitions

Le WTHD est défini en pourcentage de manière mathématique comme suit: ${\text{WTHD}}=100\times {\frac {1}{v_{1}}}{\sqrt {\sum _{h=2}^{\infty }{\frac {v_{h}^{2}}{h^{2}}}}}$

Où v₁ est le fondamental du signal et v_h l'harmonique de rang h. Dans le cas d'un onduleur de tension v₁ et v_h sont les amplitudes des tensions.

Justification théorique

En considérant un moteur électrique quelconque, on peut le simplifier comme étant une charge RLE équilibrée connectée en étoile (faisant donc apparaitre un neutre). Une charge RLE est typiquement équivalente à une machine synchrone sans saillance (dans une représentation de Park ça signifie que $L_{d}=L_{q}$ ). R représentant une résistance, L une inductance et E la force contre électromotrice (supposée pour la suite sinusoïdale de pulsation $\omega$ ). Une grande partie des pertes se situe dans les harmoniques de courant. En effet, un courant d'harmonique de puissance non nulle est de l'énergie non exploitable pour notre charge et est donc considéré comme une perte. Le WTHD est donc une approximation de la puissance des harmoniques de courant fournis.

Démonstration

La tension fournie étant périodique, on peut la décomposer en somme de fonction périodiques, aussi appelée décomposition en séries de Fourier. Le courant étant lui aussi périodique on peut lui aussi le décomposer de la même manière. Dans la suite, on suppose l'ensemble des harmoniques de tension connus. On note:

    $\mathbf {V} (t)-E=\mathbf {a} _{0,V}+\sum _{n\geq 1}\mathbf {a} _{n,V}\cos(n\omega t)+\mathbf {b} _{n,V}\sin(n\omega t)$ 
    $\mathbf {I} (t)=\mathbf {a} _{0,I}+\sum _{n\geq 1}\mathbf {a} _{n,I}\cos(n\omega t)+\mathbf {b} _{n,I}\sin(n\omega t)$

Avec: $\omega$ la pulsation électrique. $\mathbf {a} _{0,V}$ , $\mathbf {a} _{n,V}$ et $\mathbf {b} _{n,V}$ les coefficients de Fourier réels pour la tension et $\mathbf {a} _{0,I}$ , $\mathbf {a} _{n,I}$ et $\mathbf {b} _{n,I}$ les coefficients de Fourier réels pour le courant.

Or en considérant une charge RLE on a:

     ${\frac {d\mathbf {I} (t)}{dt}}={\frac {\mathbf {V} (t)-E}{L}}-{\frac {R}{L}}\mathbf {I} (t)$

On a donc besoin de la dérivée du courant qui sera alors égale à:

     ${\frac {d\mathbf {I} (t)}{dt}}=\sum _{n\geq 1}n\omega \mathbf {b} _{n,I}\cos(n\omega t)-n\omega \mathbf {a} _{n,I}\sin(n\omega t)$

Ainsi par identification on peut écrire:

     $\left\{{\begin{array}{l}0={\frac {1}{L}}\mathbf {a} _{0,V}-{\frac {R}{L}}\mathbf {a} _{0,I}\\n\omega \mathbf {b} _{n,I}={\frac {1}{L}}\mathbf {a} _{n,V}-{\frac {R}{L}}\mathbf {a} _{n,I}\\n\omega \mathbf {a} _{n,I}={\frac {R}{L}}\mathbf {b} _{n,I}-{\frac {1}{L}}\mathbf {b} _{n,V}\\\end{array}}\right.$

Les harmoniques de courant peuvent être décrits de cette manière:

     $\left\{{\begin{array}{l}\mathbf {a} _{0,I}={\frac {1}{R}}\mathbf {a} _{0,V}\\\mathbf {a} _{n,I}={\frac {1}{R^{2}+\left(nL\omega \right)^{2}}}\left(R\mathbf {a} _{n,V}-nL\omega \mathbf {b} _{n,V}\right)\\\mathbf {b} _{n,I}={\frac {1}{R^{2}+\left(nL\omega \right)^{2}}}\left(nL\omega \mathbf {a} _{n,V}+R\mathbf {b} _{n,V}\right)\\\end{array}}\right.$

$n$ étant un nombre entier plus grand que 1 et $\omega =2\pi f_{1}$ , avec $f_{1}$ qui a un ordre de grandeur au moins égal à 10 dans les applications du génie électrique. De cette manière $nL\omega \gg R$ . Ainsi les harmoniques du courants peuvent être réécrits de cette manière:

    $\left\{{\begin{array}{l}\mathbf {a} _{0,I}={\frac {1}{R}}\mathbf {a} _{0,V}\\\mathbf {a} _{n,I}\approx -{\frac {\mathbf {b} _{n,V}}{nL\omega }}\\\mathbf {b} _{n,I}\approx {\frac {\mathbf {a} _{n,V}}{nL\omega }}\\\end{array}}\right.$

On peut ainsi calculer l'amplitude des harmoniques de courants (notez que $\mathbf {a} _{0,V}$ n'apparait pas car dans un cas d'une charge RLE équilibrée cette tension est nulle):

     ${\mathcal {P}}_{n,I}={\sqrt {\mathbf {a} _{n,I}^{2}+\mathbf {b} _{n,I}^{2}}}\ \ \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \{1\}$ 
     ${\mathcal {P}}_{n,I}={\frac {1}{L\omega }}{\sqrt {\frac {\mathbf {a} _{n,V}^{2}+\mathbf {b} _{n,V}^{2}}{n^{2}}}}\ \ \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \{1\}$

Finalement, en souhaitant un outil indépendant du modèle du système considéré:

      ${\mathcal {P}}_{n,I}\propto {\sqrt {\frac {\mathbf {V} _{n}^{2}}{n^{2}}}}\ \ \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \{1\}$

En prenant enfin la norme 2 de toutes les amplitudes de courant et en la comparant à la tension fondamentale pour en déduire un pourcentage on obtient:

${\text{WTHD}}=100\times {\frac {1}{\mathbf {V} _{1}}}{\sqrt {\sum _{n=2}^{\infty }{\mathcal {P}}_{n,I}^{2}}}=100\times {\frac {1}{\mathbf {V} _{1}}}{\sqrt {\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mathbf {V} _{n}^{2}}{n^{2}}}}}$

Notes

(en) D. Grahame Holmes, Pulse Width Modulation For Power Converters : Principles and Practice, Wiley-Interscience, coll. « IEEE Series on Power Engineering », 2003, 724 p. (ISBN 9780470546284, lire en ligne), p. 57-77.

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[1] (en) D. Grahame Holmes, Pulse Width Modulation For Power Converters : Principles and Practice, Wiley-Interscience, coll. « IEEE Series on Power Engineering », 2003, 724 p. (ISBN 9780470546284, lire en ligne), p. 57-77.