Système d'unités géométriques

En relativité générale, le système d'unités géométriques est un système d'unités réduisant l'ensemble des grandeurs physiques à des longueurs ou des puissances de longueurs. Il vise à proposer une écriture plus simple des équations propres à la relativité générale en omettant deux constantes fondamentales : la vitesse de la lumière c et la constante de gravitation G, c'est-à-dire en considérant que les unités de masse et de temps en vigueur sont telles que ces quantités valent 1. Dans les situations où interviennent des unités électriques, on ajoute la contrainte que la quantité 4πε₀ vaut 1, ε₀ étant la permittivité du vide.

Fondement

La raison d'être de ce système est de nature mathématique, la relativité générale pouvant être ainsi formalisée sans l'utilisation des constantes fondamentales : la présence et la valeur de celles-ci dépendent uniquement des choix (qui d'un point de vue théorique apparaît quelque peu arbitraire, quoiqu'ils aient bien sûr en pratique des raisons d'être pertinentes) des différentes constantes fondamentales.

Ainsi, les équations d'Einstein s'écrivent-elles dans le Système international d'unités

G_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab}

,

où G_ab est le tenseur d'Einstein et T_ab le tenseur énergie-impulsion de la matière. En unités géométriques, il s'écrit plus simplement

G_{ab}=8\pi T_{ab}

.

les composantes du tenseur énergie impulsion étant implicitement modifiées du facteur numérique ad hoc pour la validité de l'égalité.

Tableau de conversion

Plus généralement, le tableau ci-dessous donne les unités de certaines grandeurs physiques ; leur unité réduite dans le système géométrique ; et le facteur par lequel elles sont multipliées pour passer de leur valeur à leur valeur réduite.

À noter que cette table de conversion dépend explicitement de la dimension de l'espace-temps, considérée égale à quatre ci-après. En effet, la dimension de la constante gravitationnelle dépend explicitement du nombre de dimensions de l'espace.

Grandeur	Dimension SI	Dimension géométrique	Facteur multiplicatif
Longueur	[L]	[L]	1
Durée	[T]	[L]	c
Masse	[M]	[L]	G c^-2
Vitesse	[L T^-1]	1	c^-1
Vitesse angulaire	[T^-1]	[L^-1]	c^-1
Accélération	[L T^-2]	[L^-1]	c^-2
Énergie	[M L² T^-2]	[L]	G c^-4
Densité d'énergie	[M L^-1 T^-2]	[L^-2]	G c^-4
Moment cinétique	[M L² T^-1]	[L²]	G c^-3
Force	[M L T^-2]	1	G c^-4
Puissance	[M L² T^-3]	1	G c^-5
Pression	[M L^-1 T^-2]	[L^-2]	G c^-4
Masse volumique	[M L^-3]	[L^-2]	G c^-2
Charge électrique	[I T]	[L]	G^1/2 c^-2 (4πε₀)^-1/2
Potentiel électrique	[M L² T^-3 I^-1]	1	G^1/2 c^-2 (4πε₀)^1/2
Champ électrique	[M L T^-3 I^-1]	[L^-1]	G^1/2 c^-2 (4πε₀)^1/2
Champ magnétique	[M T^-2 I^-1]	[L^-1]	G^1/2 c^-1 (4πε₀)^1/2
Potentiel vecteur	[M L T^-2 I^-1]	1	G^1/2 c^-1 (4πε₀)^1/2

Dans le tableau ci-dessus, les quantités L, T, M et I se réfèrent respectivement à des longueurs, durées, masses et intensités électriques.

Conversion géométrique des SI unités de base

	m	kg	s	C	K
m	1	c²/G [kg/m]	1/c [s/m]	c²/(G/(4πε₀))^1/2 [C/m]	c⁴/(Gk_B) [K/m]
kg	G/c² [m/kg]	1	G/c³ [s/kg]	(G 4πε₀)^1/2 [C/kg]	c²/k_B [K/kg]
s	c [m/s]	c³/G [kg/s]	1	c³/(G/(4πε₀))^1/2 [C/s]	c⁵/(Gk_B) [K/s]
C	(G/(4πε₀))^1/2/c² [m/C]	1/(G 4πε₀)^1/2 [kg/C]	(G/(4πε₀))^1/2/c³ [s/C]	1	c²/(k_B(G 4πε₀)^1/2) [K/C]
K	Gk_B/c⁴ [m/K]	k_B/c² [kg/K]	Gk_B/c⁵ [s/K]	k_B(G 4πε₀)^1/2/c² [C/K]	1

Exemple

La composante temporelle g_tt de la métrique d'un trou noir de Reissner-Nordström de masse m et de charge électrique q s'écrit

g_{tt}=c^{2}-{\frac {2Gm}{r}}+{\frac {Gq^{2}}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}r^{2}}}

.

Dans le système d'unités géométriques, cette quantité devient

g_{tt}=1-{\frac {2M}{r^{2}}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}

,

où cette fois la composante se transforme en un nombre sans dimension (par division par c²), et la masse M et la charge Q sont écrites en unités géométriques, c'est-à-dire que numériquement elles correspondent à

M={\frac {Gm}{c^{2}}}

,

Q^{2}={\frac {Gq^{2}}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}}

.

Avantages et inconvénients

L'écriture des différentes formules affranchie de leurs unités du Système international est significativement plus simple (voir l'exemple ci-dessus). Par contre, elle présente l'inconvénient de rendre souvent plus difficile l'évaluation des ordres de grandeur. En particulier, les calculs du rayonnement gravitationnel d'un système astrophysique sont bien plus facilement interprétables en unités SI qu'en unités géométriques. De plus, dans les situations où la constante de gravitation G est variable au cours du temps (théorie tenseur-scalaire), le système d'unités géométriques ne peut être employé qu'avec circonspection.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

[Bueno 1979] Luís Paulo Bueno, « Champ gravitationnel microscopique et macroscopique : l'étude du collapse gravitationnel », Nuov. Cim. B, vol. 52, n^o 2,‎ août 1979, art. n^o 5, p. 177-186 (OCLC 4635094582, DOI 10.1007/BF02739032, résumé).
(en) Robert M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, 1984, 498 p. (ISBN 0226870332), page 470 et 471.
[Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll. / sciences, janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956 p., ill., fig., tabl. et index, 17 × 24 cm, br. (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, notice BnF n^o FRBNF45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. unités géométriques, p. 760, col. 1.

Articles connexes

Unités de Planck

Liens externes

[OI] (en) « geometrized units » [« unités géométrisées »], notice d'autorité n^o 20110803095848743 de l'Oxford Index [OI], sur la base de données Oxford Reference de l'OUP.

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