Surface de Catalan

Une surface de Catalan est une surface réglée dont les génératrices restent parallèles à un plan fixe appelé plan directeur. Ces surfaces ont été étudiées par le mathématicien belge Eugène Charles Catalan (1814-1894).

Ne doit pas être confondu avec Surface minimale de Catalan.

Surface de Catalan.

Les équations paramétriques d'une surface de Catalan de plan directeur ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {n} _{0}=0}$ sont données par[1]

• ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)\ ,}$ avec

${\displaystyle \mathbf {r} (u)\cdot \mathbf {n} _{0}=0}$ .

Chaque droite ${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}$ avec le paramètre ${\displaystyle u=u_{0}}$ fixé, est une génératrice, ${\displaystyle \mathbf {c} (u)}$ décrit la courbe directrice et les vecteurs ${\displaystyle \mathbf {r} (u)}$ sont tous parallèles au plan directeur.

Si ${\displaystyle \mathbf {r} (u)}$ est différentiable, on peut exprimer la condition de parallélisme au plan par

${\displaystyle \det(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {\ddot {r}} )=0}$.