Rêve du deuxième année

En mathématiques, le rêve du deuxième année désigne les deux identités

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}\\\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\end{aligned}}

découvertes en 1697 par Johann Bernoulli.

Les valeurs numériques de ces constantes sont respectivement 1,291 285 997... et 0,783 430 510 7....

Le nom « rêve du deuxième année », apparu dans (Borwein, Bailey et Girgensohn 2004), fait référence au « rêve du première année » qui est la fausse[note 1] identité (x + y)ⁿ = xⁿ + yⁿ. À l'inverse, les deux identités du rêve du deuxième année (en anglais sophomore's dream), qui donnent la même impression d'être « trop belles pour être vraies » — en particulier la première — sont vraies.

Graphe des fonctions y = x^x (rouge, en bas) et y = x^−x (gris, en haut) sur l'intervalle ]0, 1].

Voir aussi

Série (mathématiques)

Notes

Fausse en général, mais correcte dans un anneau commutatif de caractéristique un nombre premier p, si n est une puissance de p, d'après la formule du binôme de Newton.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sophomore's dream » (voir la liste des auteurs).

Formules

Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, p. 376-381
(en) Jonathan Borwein, David H. Bailey et Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics : Computational Paths to Discovery, 2004, 368 p. (ISBN 978-1-56881-136-9), p. 4, 44
(en) William Dunham, The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton, NJ, Princeton University Press, 2005, 46–51 p. (ISBN 978-0-691-09565-3), « 3: The Bernoullis (Johann and $x^{x}$ ) »
Suites A083648 et A073009 de l'OEIS
(en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, 1998, 393 p. (ISBN 978-3-540-63640-3, lire en ligne), « Part I, problem 160 », p. 36
(en) Eric W. Weisstein, « Sophomore's Dream », sur MathWorld

Fonction

(en) Literature for x^x and Sophomore's Dream, Tetration Forum, 03/02/2010
(en) The Coupled Exponential, Jay A. Fantini et Gilbert C. Kloepfer, 1998
(en) Sophomore's Dream Function, Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.
(en) D. H. Lehmer, « Numbers associated with Stirling numbers and x^x », Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 15,‎ 1985, p. 461 (DOI 10.1216/RMJ-1985-15-2-461)
(en) H. W. Gould (en), « A Set of Polynomials Associated with the Higher Derivatives of y = x^x », Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 26,‎ 1996, p. 615 (DOI 10.1216/rmjm/1181072076)

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[1] Fausse en général, mais correcte dans un anneau commutatif de caractéristique un nombre premier p, si n est une puissance de p, d'après la formule du binôme de Newton.