Section (théorie des catégories)

Dans le domaine mathématique de la théorie des catégories, si on a un couple de morphismes ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ tel que ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}}$ (le morphisme identité de Y, souvent réalisé par l'application identité sur Y), on dit que g est une section de f, et que f est une rétraction de g. En d'autres termes, une section est un inverse à droite, et une rétraction est un inverse à gauche (ce sont deux notions duales).

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Le concept au sens des catégories de ces notions est particulièrement important en algèbre homologique, et est étroitement lié à la notion de section d'un fibré en topologie.

Toute section est un monomorphisme et toute rétraction est un épimorphisme. Elles sont respectivement appelées[1] split mono et split epi. Même dans le cas de la catégorie des ensembles, il n'y a nullement unicité, par exemple, si f est une surjection mais pas une bijection, on peut construire (en admettant l'axiome du choix) plusieurs sections de f.