Représentation adjointe
En mathématiques, il existe deux notions de représentations adjointes :
- la représentation adjointe d'un groupe de Lie sur son algèbre de Lie,
- la représentation adjointe d'une algèbre de Lie sur elle-même.
Alors que la première est une représentation de groupe, la seconde est une représentation d'algèbre.
Définition
Soient :
- , un groupe de Lie ;
- , l'élément identité de ;
- , l'algèbre de Lie de ;
- l'automorphisme intérieur de sur lui-même, donné par ;
Définition : La représentation adjointe du groupe de Lie sur son algèbre de Lie est :
Remarques :
- La représentation adjointe est un morphisme de groupes :
- Pour tout , la représentation adjointe de est un isomorphisme d'algèbres :
Définition : La représentation adjointe de l'algèbre de Lie sur elle-même est :
Remarques :
- La structure d'algèbre sur l'espace tangent peut être définie à partir de la représentation adjointe via :
- Puisque le crochet de Lie satisfait l'identité de Jacobi, la représentation adjointe est un morphisme d'algèbres :
Lorsque est un groupe matriciel
Supposons que est un groupe de Lie matriciel, e.g. ou , de sorte que son algèbre de Lie soit aussi matriciel, e.g. ou . Alors, les deux représentations adjointes sont explicitement :
où est ici le commutateur de matrices.
Relation avec la forme de Killing
La forme de Killing est définie par :
La forme de Killing est -invariante :
Ainsi, elle vérifie de plus :
Régularité de la représentation adjointe
Si est un groupe de Lie de classe , l'application adjointe est différentiable. En effet, il suffit de démontrer que l'application d'évaluation est différentiable. Mais par définition de , c'est la différentielle en la seconde variable en l'élément neutre de . En toute généralité, il y a une perte de régularité pour la représentation adjointe.
Livres
- 1963, S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry.
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