Rapport gyromagnétique

Tout système libre possédant un rapport gyromagnétique constant, (un atome d'hydrogène par exemple), placé dans un champ magnétique ${\displaystyle B}$ non aligné avec le moment magnétique du système, sera entraîné dans un mouvement de précession de Larmor à la fréquence ${\displaystyle f}$ telle que :

${\displaystyle f={\frac {\gamma }{2\pi }}B}$ .

C'est pourquoi les valeurs de ${\displaystyle {\frac {\gamma }{2\pi }}}$ sont plus souvent données que ${\displaystyle \gamma }$.

On considère un corps chargé en rotation autour d'un axe de symétrie. Ce corps possède donc un moment magnétique dipolaire et un moment cinétique à cause de sa rotation.

Par définition :

${\displaystyle \gamma ={\frac {\mu }{L}}}$ .

où :

${\displaystyle \gamma ~}$ est le rapport gyromagnétique,

${\displaystyle \mu ~}$ est le moment magnétique du corps,

${\displaystyle L~}$ est son moment cinétique.

On peut montrer que tant que sa masse et sa charge suivent une distribution uniforme, son rapport gyromagnétique vaut :

${\displaystyle \gamma ={\frac {q}{2m}}}$

Où ${\displaystyle q}$ est sa charge et ${\displaystyle m}$ sa masse.

La démonstration est la suivante : Il suffit de montrer le résultat pour une spire infinitésimale à l'intérieur du corps (comme il suffit après d'intégrer le résultat pour revenir au corps, d'où l'hypothèse d'une distribution uniforme).

Or, I = q n ; avec : q la charge et n le nombre de tours par seconde effectués par la charge.

La charge possède une vitesse angulaire définie par ω = 2π n. Or ω = v/r avec r rayon et v vitesse de rotation.

On obtient donc la relation suivante : I = qv/ 2πr

On suppose que la spire a un rayon ${\displaystyle r}$, une aire ${\displaystyle S=\pi r^{2}}$, une masse ${\displaystyle m}$, une charge ${\displaystyle q}$, et un moment cinétique ${\displaystyle L=mvr}$ (où ${\displaystyle v}$ est bien orthogonale à ${\displaystyle r}$ pour un mouvement de précession.) Le moment dipolaire s'écrit dans ces conditions : ${\displaystyle \mu =I.S={\frac {qv}{2\pi r}}\times \pi r^{2}={\frac {q}{2m}}\times mvr={\frac {q}{2m}}L}$ D'où le résultat.

On peut également calculer le rapport gyromagnétique de l'électron si sa masse et sa charge suivent une distribution uniforme :

${\displaystyle q_{electron}=-e\Rightarrow \gamma _{electron}={\frac {-e}{2m_{electron}}}\approx {\frac {-1,602\times 10^{-19}}{2\times 9,109\times 10^{-31}}}\approx -8,793\times 10^{10}\ \mathrm {C} \cdot \mathrm {kg} ^{-1}}$

Où ${\displaystyle q_{electron}}$ est sa charge, ${\displaystyle -e}$ la charge élémentaire( -1,602×10^-19 Coulomb ) et ${\displaystyle m_{electron}}$ sa masse.

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