R0-matrice

Les propriétés équivalentes pouvant servir de définition aux ${\displaystyle \mathbf {R_{0}} }$-matrices requièrent le rappel de quelques notions.

• Pour un vecteur ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$, la notation ${\displaystyle v\geqslant 0}$ signifie que toutes les composantes ${\displaystyle v_{i}}$ du vecteur sont positives. Étant donnés une matrice réelle carrée ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ et un vecteur ${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{n}}$, un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ tel que ${\displaystyle x\geqslant 0}$, ${\displaystyle Mx+q\geqslant 0}$ et ${\displaystyle x^{\!\top }(Mx+q)=0}$, ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit :
  
  ${\displaystyle {\mbox{CL}}(M,q):\qquad 0\leqslant x\perp (Mx+q)\geqslant 0.}$
  
  
• Une fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ à valeurs réelles est dite coercive si elle a ses ensembles de sous-niveau bornés, ce qui revient à dire qu'elle tend vers l'infini si ${\displaystyle \|x\|\to \infty }$.

On peut à présent donner la définition d'une ${\displaystyle \mathbf {R_{0}} }$-matrice.

Le lien entre le problème ${\displaystyle {\mbox{CL}}(M,0)}$ et la fonction ${\displaystyle x\mapsto \|\min(x,Mx)\|}$ vient du fait que ${\displaystyle x}$ est solution de ${\displaystyle {\mbox{CL}}(M,0)}$ si, et seulement si, ${\displaystyle \min(x,Mx)=0}$ (l'opérateur ${\displaystyle \min }$ agit composante par composante).