Réseau de Petri

La définition matricielle introduit les matrices ${\displaystyle PRE\in {\mathcal {M}}_{mn}}$ et ${\displaystyle POST\in {\mathcal {M}}_{mn}}$.

• ${\displaystyle PRE_{pt}=W(p,t)}$
• ${\displaystyle POST_{pt}=W(t,p)}$

Ces matrices de même dimension représentent en ligne les places, et en colonne les transitions. ${\displaystyle PRE}$ contient les valuations des arcs qui vont des places vers les transitions, ${\displaystyle POST}$ concerne les arcs des transitions vers les places. Une valeur nulle dans une des matrices indique l'inexistence d'un arc dans un sens ou dans l'autre.

La matrice d'incidence ${\displaystyle C}$ est définie par ${\displaystyle C=POST-PRE}$. Étant donnée une transition ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle C_{pt}}$ est le nombre de jetons qui seront ajoutés (ou retirés si le nombre est négatif) à la place ${\displaystyle p}$ si la transition ${\displaystyle t}$ est franchie.

Le fait que la transition ${\displaystyle t}$ est franchissable à partir du marquage ${\displaystyle M}$ se note ${\displaystyle M{\stackrel {t}{\rightarrow }}}$

On dit qu'une transition ${\displaystyle t}$ est franchissable, si chaque place ${\displaystyle p}$ en entrée contient un nombre de jetons supérieur ou égal à la valuation de l'arc qui la relie à la transition ${\displaystyle t}$. C'est-à-dire :

${\displaystyle M\geq PRE_{t}}$

Note : ${\displaystyle PRE_{t}}$ est la t-ième colonne de ${\displaystyle PRE}$.

Le franchissement d'une transition permet d'atteindre un nouveau marquage ${\displaystyle M'}$ à partir de ${\displaystyle M}$: ${\displaystyle M{\stackrel {t}{\rightarrow }}M'}$ :

${\displaystyle M'=M+C_{t}}$

Une séquence de transitions est une séquence formée sur l'alphabet des transitions (voir Langage formel). Elle décrit une suite de transitions à activer.

On dit qu'une séquence de transitions ${\displaystyle \sigma =\sigma 't}$ est franchissable à partir du marquage M si:

• ${\displaystyle \sigma '}$ est franchissable à partir de M et ${\displaystyle M{\stackrel {\sigma '}{\rightarrow }}M'}$
• t est franchissable à partir de M', ${\displaystyle M'{\stackrel {t}{\rightarrow }}}$

À une séquence de transitions ${\displaystyle \sigma }$, on associe un vecteur commutatif ${\displaystyle {\stackrel {\rightarrow }{\sigma }}=(\alpha _{1},...,\alpha _{m})}$ (m est le nombre de transitions). ${\displaystyle \alpha _{i}}$ est le nombre d'occurrences de la transition i dans ${\displaystyle \sigma }$.

Exemple: Soit un réseau avec les transitions ${\displaystyle T=\{t_{1},t_{2},t_{3}\}}$. ${\displaystyle \sigma =t_{2}t_{1}t_{3}t_{1}}$, le vecteur commutatif correspondant est ${\displaystyle {\stackrel {\rightarrow }{\sigma }}=(2,1,1)}$ (vecteur colonne)

Si la séquence ${\displaystyle \sigma }$ est franchissable à partir du marquage M, alors on peut calculer le marquage M' obtenu par ${\displaystyle \sigma {\stackrel {t}{\rightarrow }}}$:

${\displaystyle M'=M+C.{\stackrel {\rightarrow }{\sigma }}}$

Le graphe des marquages d'un réseau ${\displaystyle (R,M_{0})}$ est un graphe orienté dont les nœuds sont les marquages de ${\displaystyle A(R,M_{0})}$, et chaque arc relie un marquage à un autre qui est immédiatement accessible par une transition : si ${\displaystyle M_{0}{\stackrel {t}{\rightarrow }}M_{1}}$, un arc est tracé de ${\displaystyle M_{0}}$ à ${\displaystyle M_{1}}$ et il est marqué avec ${\displaystyle t}$.

Ce type de graphe donne une vue simple de l'évolution d'un réseau, néanmoins le graphe des marquages n'est pertinent que pour les réseaux bornés[3] : un réseau non borné a une infinité de marquages et ne pourrait être représenté.

L'algorithme de construction du graphe se définit récursivement, partant de l'état initial, on détermine de proche en proche les marquages accessibles.

• S est l'ensemble des nœuds du graphe, il est initialisé à ${\displaystyle M_{0}}$
• En entrée, l'algorithme prend un marquage ${\displaystyle M}$

Pour toute transition t faire
 Si ${\displaystyle M{\stackrel {t}{\rightarrow }}M_{1}}$ Alors
   Si ${\displaystyle M_{1}\notin S}$ Alors
     ${\displaystyle S\leftarrow S\bigcup \{M_{1}\}}$
     Créer le sommet ${\displaystyle M_{1}}$
   Fin Si
   Créer l'arc ${\displaystyle (M,M_{1})}$
   Appeler l'algorithme avec ${\displaystyle M_{1}}$
 Fin Si
Fin Pour

Graphe de Petri

Un graphe de couverture est semblable à un graphe de marquage dans lequel on va utiliser un symbole, par exemple ${\displaystyle \omega }$, pour indiquer la présence d'un nombre arbitrairement grand de jetons (en pratique une infinité) une transition peut alors prélever et ajouter librement des jetons sur cette place. Il s'agit cependant d'une sur-approximation et certaines transition paraissant possibles sur le graphe de couverture peuvent ne pas l'être en pratique.

Le problème d'accessibilité pour les réseaux de Petri revient à décider, pour un réseau ${\displaystyle N}$ et un marquage ${\displaystyle M}$ si ${\displaystyle M\in R(N).}$.

Il s'agit évidemment d'un problème de chemin sur le graphe de marquage définit ci-dessus, ou bien jusqu'à ce que l'on atteigne le marquage ${\displaystyle M}$ ou que l'on sache qu'il ne peut pas être atteint. Ce problème est en général beaucoup plus difficile qu'il n'y parait car le graphe de marquage est généralement infini et il n'est pas évident de déterminer quand l'on peut s'arrêter de chercher.

Bien que l'accessibilité semble être une bonne manière de trouver les états défectueux (par exemple pour prouver la correction d'un programme), dans les cas pratiques la construction du graphe de marquage est beaucoup trop complexe. Pour simplifier ce problème, on recourt donc à la logique temporelle linéaire en complément de méthode d'analyse des tableaux pour prouver que ces états ne peuvent être atteints. La logique temporelle utilise des méthodes de semi-décision pour déterminer un ensemble de conditions nécessaire à l'accessibilité de l'état avant de prouver que ces conditions ne peuvent être satisfaites.

Une place d'un réseau de Petri est dite k-bornée si elle ne contient pas plus de ${\displaystyle k}$ jetons dans l'ensemble des marquages accessibles, y compris le marquage initial. Elle est dite sûre si elle est 1-bornée et bornée si elle est k-bornée pour ${\displaystyle k}$ un entier.

Pour un réseau de Petri de base, on ne distingue pas les différents jetons. Dans un réseau de Petri coloré, on associe une valeur à chaque jeton.

Pour plusieurs outils associés aux réseaux de Petri colorés, les valeurs des jetons sont typées, et peuvent être testées et/ou manipulées avec un langage fonctionnel.

Une autre extension du réseau de Petri est la hiérarchie (ou récursivité) : des éléments du réseau de Petri sont eux-mêmes composés d'un réseau de Petri.

Les réseaux de Petri stochastiques ajoutent de l'indéterminisme.

• G.W. Brams, Réseaux de Petri : Théorie et Pratique, Masson, 1983. (ISBN 2-903607-12-5)
• Annie Choquet-Geniet, Les réseaux de Petri : Un outil de modélisation, Paris, Éditions Dunod, coll. « Sciences Sup », 7 mars 2006, 240 p. (ISBN 2-10-049147-4)
• René David et Hassane Alla, Du Grafcet aux réseaux de Petri, Paris, Hermès, 1992, 2^e éd., 500 p. (ISBN 2-86601-325-5)
  à noter l'ouvrage en anglais traitant plus spécialement des extensions temporelles et continues : René David et Hassane Alla, Discrete, Continuous, and Hybrid Petri Nets, Berlin, Springer-Verlag, 2005 (ISBN 3-540-22480-7)
• Michel Diaz, Vérification et mise en œuvre des réseaux de Petri : ouvrage collectif sous la direction de Michel Diaz, Hermes Science Publications, coll. « Traité IC2 / Informatique et systèmes d'information » (ISBN 978-2-7462-0445-4 et 2-7462-0445-2)
• M. Combacau et P. Esteban, Commandes à Réseaux de Petri, coll. « Techniques de l'Ingénieur », 10 mars 2005 (lire en ligne)
• Marc Bourcerie, Réseaux de Petri, Elaboration pour les systèmes de production, cours et exercices corrigés, Éditions Ellipses, coll."technosup", février 2011

• Janette Cardoso et Heloisa Camargo, Fuzziness in Petri Nets, Physica-Verlag, 1999, 318 p. (ISBN 3-7908-1158-0, lire en ligne).
• (en) Kurt Jensen, Coloured Petri Nets : basic concepts, analysis methods, and practical use, Berlin/Heidelberg/Paris etc., Springer Verlag, 1997, 265 p. (ISBN 3-540-62867-3).
• Вадим Котов, Сети Петри (Petri Nets, in Russian), Наука, Москва,‎ 1984.
• András Pataricza, Formális módszerek az informatikában (Formal methods in informatics), TYPOTEX Kiadó, 2004 (ISBN 963-9548-08-1).
• Carl Adam Petri et Wolfgang Reisig, « Petri net », Scholarpedia 3(4):6477 (consulté le 13 juillet 2008)
• Wolfgang Reisig, A Primer in Petri Net Design, Springer-Verlag, 1992 (ISBN 3-540-52044-9).
• Robert-Christoph Riemann, Modelling of Concurrent Systems : Structural and Semantical Methods in the High Level Petri Net Calculus, Herbert Utz Verlag, 1999, 252 p. (ISBN 3-89675-629-X, lire en ligne).
• Harald Störrle, Models of Software Architecture : Design and Analysis with UML and Petri-Nets, Books on Demand, 2000 (ISBN 3-8311-1330-0). With courtesy of the author, freely available online.
• (en) Mengchu Zhou et Frank Dicesare, Petri Net Synthesis for Discrete Event Control of Manufacturing Systems, Boston/Dordrecht/London, Kluwer Academic Publishers, 1993, 233 p. (ISBN 0-7923-9289-2).
• Mengchu Zhou, Kurapati Venkatesh, Modeling, Simulation, & Control of Flexible Manufacturing Systems : A Petri Net Approach, World Scientific Publishing, 1998 (ISBN 981-02-3029-X).
• Dmitry Zaitsev, Clans of Petri Nets : Verification of protocols and performance evaluation of networks, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013 (ISBN 978-3-659-42228-7, lire en ligne).

• « PetriParC - GDR MACS », sur www.univ-valenciennes.fr/gdr-macs
• « Groupe francophone de recherche sur les réseaux de Petri », sur lagis.ec-lille.fr

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