Projecteur (physique statistique)

Soit un ensemble de N particules décrit par les 3N coordonnées généralisées ${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$ et dont l'évolution est régie par un processus stochastique markovien caractérisé par la fonction de distribution ${\displaystyle f(\mathbf {q} _{i},t)}$. Cette fonction obéit à l'équation maîtresse

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}f(\mathbf {q} _{i},t)=\Gamma f}$

où ${\displaystyle \Gamma }$ est un opérateur linéaire pouvant être par exemple l'opérateur de Liouville.

On souhaite effectuer une partition de l'ensemble de ces variables en ensembles de variables « lentes » ${\displaystyle \mathbf {q} _{L}=(\mathbf {q} _{1}...\mathbf {q} _{m})}$ et « rapides » ${\displaystyle \mathbf {q} _{R}=(\mathbf {q} _{m+1}...\mathbf {q} _{N})}$, cette notion étant subordonnée à une connaissance a priori du système. Les variables lentes peuvent par exemple être définies comme celles qui correspondent aux grandes longueurs d'onde du développement en séries de Fourier d'une réalisation temporelle du processus étudié.

L'opérateur utilisé, noté ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ est donné formellement par ${\displaystyle g(\mathbf {q} _{L},\mathbf {q} _{R},t)={\mathcal {P}}f(\mathbf {q} ,t)}$. En pratique on l'écrira

${\displaystyle g(\mathbf {q} _{L},\mathbf {q} _{R},t)=g_{L}(\mathbf {q} _{L},t)\phi (\mathbf {q} _{R})}$

où

• ${\displaystyle \phi (\mathbf {q} _{R})}$ est une distribution donnée a priori et pertinente pour le problème considéré, de moyenne nulle, par exemple un bruit blanc,
• ${\displaystyle g_{L}(\mathbf {q} _{L},t)=\int \psi (\mathbf {q} _{R})f(\mathbf {q} _{L},\mathbf {q} _{R},t)\mathrm {d} \mathbf {q} _{R}}$ est une fonction donnée qui satisfait à l'égalité suivante (produit scalaire)

${\displaystyle \int \psi (\mathbf {q} _{R})\phi (\mathbf {q} _{R})\mathrm {d} \mathbf {q} _{R}=1}$

Si l'on peut séparer les deux catégories de variables en termes de temps caractéristiques on montre que ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ est un projecteur au sens mathématique et que l'on peut projeter l'équation maîtresse dans de domaine lent. On obtient aux temps longs (lorsque la condition initiale est oubliée)

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\,g(\mathbf {q} _{L},t)=\Gamma _{L}\,g}$

Le mouvement brownien se définit comme le mouvement stochastique d'une particule de faible dimension et de masse m dans un fluide. Il résulte du mouvement des molécules interagissant entre elles et avec la particule. Il peut être représenté par l'équation de Langevin qui est une équation stochastique portant sur les variables aléatoires vitesse u et position x, évidemment liée à la vitesse par ${\displaystyle u={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$. On se placera en une dimension d'espace.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=-\gamma u+{\frac {F}{m}}}$

γ caractérise le freinage moyen dû aux chocs avec les molécules environnantes et ${\displaystyle F}$ est la force aléatoire de moyenne nulle résultant des chocs les plus importants[1], supposée représentée par un bruit blanc gaussien du fait qu'elle résulte d'un grand nombre de chocs (conséquence du théorème central limite). Si de plus on suppose la particule en équilibre thermodynamique avec son bain

${\displaystyle m\langle u^{2}\rangle =kT}$

On peut également représenter le mouvement brownien par la fonction de distribution f (x, u, t) donnant la probabilité de trouver la particule dans l'intervalle [ x , x + dx ], [ u , u + du ] à l'instant t. En utilisant le lemme d'Itō on peut écrire l'équation de f sous la forme d'une équation de Fokker-Planck appelée équation de Kramers[2]

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}f(x,u,t)=\underbrace {-u\,{\frac {\partial }{\partial x}}} _{\Lambda _{1}}f+\underbrace {\gamma {\frac {\partial }{\partial u}}\left(u+{\frac {kT}{m}}{\frac {\partial }{\partial u}}\right)} _{\Lambda _{0}}f=\Lambda f}$

La solution stationnaire de cette équation est une distribution maxwellienne

${\displaystyle f_{eq}\,(x,u,t)=f_{eq}\,(u)={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}e^{-{\frac {mu^{2}}{2kT}}}}$

On définit le projecteur ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ tel que

${\displaystyle g(x,u,t)={\mathcal {P}}f(x,u,t)=f_{eq}(u)\int _{-\infty }^{\infty }f(x,u,t)\mathrm {d} u=f_{eq}(u)\,{\overline {g}}(x,t)}$

La fonction ${\displaystyle {\overline {g}}(x,t)}$ est supposée varier lentement dans le milieu : on va chercher à la séparer de ${\displaystyle f_{eq}(u)}$.

Le projecteur ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ satisfait

${\displaystyle \Lambda _{0}{\mathcal {P}}=0\,,\;\;\;\;\;{\mathcal {P}}\Lambda _{0}=0\,,\;\;\;\;\;{\mathcal {P}}\Lambda _{1}{\mathcal {P}}f=0}$

En appliquant la technique générale décrite dans l'encadré ci-dessus on obtient

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\overline {g}}(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {kT}{m\gamma }}{\frac {\partial }{\partial x}}\right){\overline {g}}(x,t)+\int _{-\infty }^{\infty }\Lambda _{1}e^{{\mathcal {P}}\Lambda (t-t_{0})}{\mathcal {P}}f_{0}\mathrm {d} u}$

Le second terme de cette expression, provenant de la condition initiale f₀, s'annule en temps long et il reste une simple équation de diffusion pour la variation spatio-temporelle dans le milieu.