Produit infini de Cantor

Soit x₀ un nombre réel strictement plus grand que 1. On définit les nombres suivants, où [x] représente la partie entière de x :

${\displaystyle a_{0}=\left[{\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}\right]}$, ${\displaystyle x_{1}={\frac {x_{0}}{1+{\frac {1}{a_{0}}}}}}$.

De ${\displaystyle a_{0}+1>{\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}}$ on déduit aisément[1] que x₁ > 1. On peut donc itérer le principe précédent et obtenir :

${\displaystyle a_{n}=\left[{\frac {x_{n}}{x_{n}-1}}\right]}$, ${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}}{1+{\frac {1}{a_{n}}}}}}$.

1. ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} ,\forall n\geq N,a_{n}\geq 2}$
2. ${\displaystyle \forall n,a_{n+1}\geq a_{n}^{2}}$ (avec égalité à partir d'un certain rang si et seulement si x₀ est un nombre rationnel[2]).
3. Des propriétés 1 et 2, on déduit le théorème principal[3] :${\displaystyle x_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}.}$
4. De plus, la suite d'entiers (a_n) vérifiant les propriétés 2 et 3 est unique[3].

${\displaystyle {\sqrt {3}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}}$, avec ${\displaystyle a_{0}=2}$ et ${\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1}$,

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}}$, avec ${\displaystyle a_{0}=3}$ et ${\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1}$.

D'après les propriétés précédentes, on voit donc que √2 et √3 sont des nombres irrationnels (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer)[4].

L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.

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