Problème du flot de coût minimum

Soit ${\displaystyle G=(N,A)}$ un réseau de transport, c'est-à-dire un graphe orienté sur lequel sont définis :

• ${\displaystyle d:N\rightarrow \mathbb {R} }$ une fonction prenant des valeurs positives pour les nœuds sources (i.e. produisant des ressources), négatives pour les nœuds puits (i.e. utilisant des ressources) et nulles pour les nœuds dits de transit ;
• ${\displaystyle f_{max}:A\rightarrow \mathbb {R} }$ une fonction associant à chaque arête le flot maximum qu'elle peut supporter ;
• ${\displaystyle c:A\rightarrow \mathbb {R} }$ une fonction mesurant le coût du transport par unité de flot pour une arête donnée.

En supposant qu'il existe un flot réalisable, le problème du flot de coût minimal consiste, à trouver un flot ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$ minimisant le coût total : ${\displaystyle \sum _{a\in A}c(a)f(a)}$

sous les contraintes :

• conservation du flot : ${\displaystyle \forall n\in N,\sum _{a=(n,s)\in A}f(a)-\sum _{a=(s,n)\in A}f(a)=d(n)}$
• contrainte de capacité : ${\displaystyle \forall a\in A,0\leq f(a)\leq f_{max}(a)}$

Il est possible de montrer qu'il existe un flot admissible si et seulement si[1], pour toute coupe du graphe ${\displaystyle N=N_{1}\cup N_{2}}$ :

${\displaystyle \sum _{a\in (N_{1}\times N_{2})\cap A}f_{max}(a)\geq \sum _{n\in N_{1}}d(n)}$.

Le problème peut être résolu par programmation linéaire, dans la mesure où la fonction à minimiser, et les différentes contraintes sont linéaires. Plusieurs autres algorithmes existent[2]^,[3], certains pouvant être considérés comme des généralisations de l'algorithme de Ford-Fulkerson[4], d'autres comme des généralisations de l'algorithme de poussage/réétiquetage[5], ou encore des variantes de l'algorithme du simplexe[6].

En fixant certains paramètres, on obtient d'autres problèmes de cheminement.

• Problème de flot maximum

Résoudre le problème du flot maximum entre une source unique ${\displaystyle s}$ et un puits unique ${\displaystyle p}$ dans un graphe ${\displaystyle G=(N,A)}$ revient à résoudre l'instance du problème de flot de coût minimum dans le graphe ${\displaystyle G'=(N,A\cup \{(p,s)\})}$ où :

• ${\displaystyle \forall n\in N,d(n)=0}$
• il n'y a pas de contrainte de capacité sur la nouvelle arête : ${\displaystyle f_{max}((p,s))=+\infty }$ ;
• la nouvelle arête a un coût négatif ${\displaystyle c((p,s))=-1}$ et, ${\displaystyle \forall a\in A,c(a)=0}$.

Puisque le coût entre ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle s}$ est négatif, la condition de minimisation revient à maximiser le flot.

• Recherche du plus court chemin entre deux nœuds

Trouver le plus court chemin entre ${\displaystyle s\in N}$ et ${\displaystyle p\in N}$ revient à résoudre l'instance du problème de flot de coût minimum où :

• ${\displaystyle s}$ est l'unique source et ${\displaystyle p}$ l'unique puits : ${\displaystyle d(s)=1}$, ${\displaystyle d(p)=-1}$ et ${\displaystyle d(n)=0}$ pour les autres nœuds ;
• il n'y a pas de contrainte de capacité : ${\displaystyle \forall a\in A,f_{max}(a)=+\infty }$ ;
• le coût unitaire est fixe : ${\displaystyle \forall a\in A,c(a)=1}$

• Recherche du plus court chemin d'un nœud à tous les autres

Trouver le plus court chemin entre une source ${\displaystyle s\in N}$ et les autres nœuds revient à résoudre l'instance du problème de flot de coût minimum où :

• ${\displaystyle s}$ est l'unique source (${\displaystyle d(s)=|N|-1}$) alimentant les tous les autres nœuds (${\displaystyle \forall n\in N,d(n)=-1{\text{ si }}n\neq s}$) ;
• il n'y a pas de contrainte de capacité : ${\displaystyle \forall a\in A,f_{max}(a)=+\infty }$ ;
• le coût unitaire est fixe : ${\displaystyle \forall a\in A,c(a)=1}$.

• (en) Dieter Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms, Springer, 2013, 4^e éd. (ISBN 978-3-642-32277-8, lire en ligne), chap. section 11.1
• (en) Ravindra K. Ahuja, Thomas L. Magnanti et James B. Orlin, Network Flows : Theory, Algorithms, and Applications, Prentice-Hall, Inc., 1993, 846 p. (ISBN 0-13-617549-X)
• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Minimum-cost flow problem » (voir la liste des auteurs).

• « Problème du flot de coût minimum »
• « Théorie des graphes et optimisation dans les graphes », p. 42-46
• « Formulation du problème de flot à coût minimum »
• (en) LEMON, une bibliothèque C++ implémentant de nombreux algorithmes liés aux flots maximums

• Théorie du transport
• Problème de flot maximum
• Lexique de la théorie des graphes

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