Probabilité a priori

Dans le théorème de Bayes, la probabilité a priori désigne la probabilité en se fondant sur des données ou connaissances antérieures à une observation. Elle s'oppose à la probabilité a posteriori correspondante qui s'appuie sur les connaissances postérieures à cette observation.

Formalisation

Probabilité a priori / Probabilité a posteriori

Le théorème de Bayes s'énonce :

P(A) désigne ici la probabilité a priori de A.

Alors que P(A|B) désigne la probabilité a posteriori, c'est-à-dire la probabilité conditionnelle de A sachant B.

Loi a priori / Loi a posteriori

Remplaçons maintenant l'évènement A par un paramètre (ou un vecteur de paramètres) inconnu noté θ et considérons ce paramètre θ comme aléatoire.

La loi de la variable aléatoire θ, avant observation est appelée loi a priori, notée généralement π(θ)[1],[2]

La loi de la variable aléatoire θ, après observation est appelée loi a posteriori.

Extension du modèle

Remplaçons également, l'évènement B par une variable aléatoire X dont la loi de probabilité associée dépend de θ et notons x l'observation.

Le théorème de Bayes s’énonce alors : P(θ|x) = P(x|θ) . P(θ) / P(x) .

La probabilité a priori est P(θ) et la probabilité a posteriori devient P(θ|x).

La loi a priori est toujours π(θ) et la loi a posteriori est alors la loi de θ conditionnellement à l'observation x de X et s'écrit donc π(θ|x)[1],[2].

Choix d’une distribution de probabilité a priori

Les distributions a priori peuvent être créées à l'aide d'un certain nombre de méthodes [3](pp27–41).

  • Une distribution a priori peut être déterminée à partir d'informations antérieures, telles que des expériences précédentes.
  • Elle peut être obtenue à partir de l'évaluation purement subjective d'un expert expérimenté.
  • Une distribution a priori non informative peut être créée pour refléter un équilibre entre les résultats lorsqu'aucune information n'est disponible.
  • Les distributions a priori peuvent également être choisis en fonction d'un certain principe, comme la symétrie ou la maximisation de l'entropie compte tenu des contraintes ; les exemples sont la loi a priori de Jeffreys ou l’a priori de référence de Berger-Bernardo.
  • Enfin, lorsqu'il existe une famille d’a priori conjugués, le choix d'un a priori dans cette famille simplifie le calcul de la distribution a posteriori.

Articles connexes

Notes et références

Notes
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prior probability » (voir la liste des auteurs).

Références
  1. Introduction aux Statistiques Bayésiennes. Par Yann Traonmilin et Adrien Richou, Institut de Mathématiques de Bordeaux, PDF, 19 pages
  2. Statistique Bayésienne - Notes de cours. Par Judith Rousseau, ENSAE ParisTech, Troisième année 2009-20010, PDF, 54 pages
  3. Bradley P. Carlin et Thomas A. Louis, Bayesian Methods for Data Analysis, CRC Press, , Third éd. (ISBN 9781584886983)

Bibliographie
  • Rubin, Donald B., Gelman, Andrew, John B. Carlin et Stern, Hal, Bayesian Data Analysis, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC, , 2nd éd. (ISBN 978-1-58488-388-3, Math Reviews 2027492)
  • James O. Berger, Statistical decision theory and Bayesian analysis, Berlin, Springer-Verlag, (ISBN 978-0-387-96098-2, Math Reviews 0804611)
  • James O. Berger et William E. Strawderman, « Choice of hierarchical priors: admissibility in estimation of normal means », Annals of Statistics, vol. 24, no 3,‎ , p. 931–951 (DOI 10.1214/aos/1032526950, Math Reviews 1401831, zbMATH 0865.62004)
  • Jose M. Bernardo, « Reference Posterior Distributions for Bayesian Inference », Journal of the Royal Statistical Society, Series B, vol. 41, no 2,‎ , p. 113–147 (JSTOR 2985028, Math Reviews 0547240)
  • James O. Berger, José M. Bernardo et Dongchu Sun, « The formal definition of reference priors », Annals of Statistics, vol. 37, no 2,‎ , p. 905–938 (DOI 10.1214/07-AOS587, Bibcode 2009arXiv0904.0156B, arXiv 0904.0156)
  • Edwin T. Jaynes, « Prior Probabilities », IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics, vol. 4, no 3,‎ , p. 227–241 (DOI 10.1109/TSSC.1968.300117, lire en ligne, consulté le )
    • réimprimé dans Rosenkrantz, Roger D., E. T. Jaynes: papers on probability, statistics, and statistical physics, Boston, Kluwer Academic Publishers, , 116–130 p. (ISBN 978-90-277-1448-0)
  • Edwin T. Jaynes, Probability Theory: The Logic of Science, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-59271-0, lire en ligne)
  • Jon Williamson, « review of Bruno di Finetti. Philosophical Lectures on Probability », Philosophia Mathematica, vol. 18, no 1,‎ , p. 130–135 (DOI 10.1093/philmat/nkp019, lire en ligne[archive du ], consulté le )
  • Tony Lancaster, An Introduction to Modern Bayesian Econometrics, Oxford, Blackwell, (ISBN 1-4051-1720-6)
  • Peter M. Lee, Bayesian Statistics : An Introduction, Wiley, , 3rd éd. (ISBN 0-340-81405-5)
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