Polyèdre de Császár

En géométrie, le polyèdre de Császár (prononciation en hongrois : [ˈ tʃ a ː s a ː ɾ]) est un polyèdre toroïdal (en) ayant 14 faces triangulaires ; avec le tétraèdre, c'est le seul polyèdre connu sans diagonales, autrement dit tel que deux sommets quelconques soient toujours reliés par une arête

Polyèdre de Császár

**Éléments**
Faces	Arêtes	Sommets
14 triangles	21	7 (6)

Données clés
Type	Polyèdre toroïdal (en)
Propriétés	non convexe
Dual	Polyèdre de Szilassi

Graphe complet

Modèle STL d'un polyèdre de Császár

L'ensemble des sommets et des arêtes du polyèdre de Császár forme un graphe complet (noté $K_{7}$ ). Plus généralement, si un polyèdre ayant s sommets, a arêtes et f faces correspond à une surface à t « trous » (autrement dit si sa caractéristique d'Euler s-a+ f est égale à 2-2t), et si ses sommets et arêtes forment un graphe complet, il possède a = s(s-1)/2 arêtes, chaque face est un triangle et donc a = 3f/2, et on obtient finalement $t={\frac {(s-3)(s-4)}{12}}$ . t étant entier, on doit avoir s congru à 0, 3, 4, ou 7 modulo 12.

Cette équation est vérifiée pour le tétraèdre (avec t = 0 et s = 4), et pour le polyèdre de Császár (avec t = 1 et s = 7). La solution suivante, t = 6 et s = 12, correspondrait à un polyèdre à 44 faces et 66 arêtes, mais un tel polyèdre n'existe pas, et en fait on ne connait aucun polyèdre pour des valeurs de t supérieures[1].

Historique

Le polyèdre de Császár a été découvert en 1949 par le topologue hongrois Ákos Császár[2]. Son dual, le polyèdre de Szilassi, ne fut découvert qu'en 1977 par Lajos Szilassi (en) ; il a 14 sommets, 21 arêtes, et 7 faces hexagonales, chacune étant adjacente à toutes les autres faces ; il est également homéomorphe à un tore.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Császár polyhedron » (voir la liste des auteurs).

(en) Günter M. Ziegler, Discrete Differential Geometry, vol. 38, Springer-Verlag, coll. « Oberwolfach Seminars », 2008, 191–213 p. (ISBN 978-3-7643-8620-7, DOI 10.1007/978-3-7643-8621-4_10, arXiv math.MG/0412093), « Polyhedral Surfaces of High Genus »
(en) Császár, A., « A polyhedron without diagonals », Acta Sci. Math. Szeged, vol. 13,‎ 1949, p. 140–142 (lire en ligne).

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Csaszar Polyhedron », sur MathWorld

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[1] (en) Günter M. Ziegler, Discrete Differential Geometry, vol. 38, Springer-Verlag, coll. « Oberwolfach Seminars », 2008, 191–213 p. (ISBN 978-3-7643-8620-7, DOI 10.1007/978-3-7643-8621-4_10, arXiv math.MG/0412093), « Polyhedral Surfaces of High Genus »

[2] (en) Császár, A., « A polyhedron without diagonals », Acta Sci. Math. Szeged, vol. 13,‎ 1949, p. 140–142 (lire en ligne).