Permanent (mathématiques)

Le permanent peut être vu comme une forme n-linéaire symétrique prenant n vecteurs comme arguments (les colonnes d'une matrice). Il existe pour le permanent des formules analogues à celles du déterminant :

1. Le permanent de la transposée d'une matrice est égal au permanent de la matrice.
2. Il existe une formule similaire de développement d'un permanent le long d'une colonne : si ${\displaystyle A=(a_{ij})}$, et ${\displaystyle A_{ij}}$ est la matrice obtenue à partir de A en supprimant la i-ième ligne et la j-ième colonne, alors ${\displaystyle {\rm {per}}(A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\rm {per}}(A_{ij})}$.
3. Le permanent d'une matrice triangulaire par blocs ${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}A_{1}&&&(0)\\&A_{2}&&\\&&\cdot &\\(*)&&&A_{k}\\\end{matrix}}\right)}$ vaut ${\displaystyle {\rm {per}}(A)=\prod _{i=1}^{k}{\rm {per}}(A_{i})}$.

Mais contrairement au déterminant, le permanent n'est pas multiplicatif.

Le permanent de la matrice d'adjacence d'un graphe bipartite est égal au nombre de couplages de ce graphe.

En 1926, van der Waerden conjectura que le permanent d'une matrice bistochastique de dimension n est supérieur à n!/nⁿ, valeur atteinte par la matrice ne contenant que des 1/n[1]. Des démonstrations de ce résultat ont été publiées, en 1980 par B. Gyires[2], et en 1981 par G. P. Egorychev (en utilisant l'inégalité d'Alexandrov-Fenchel (en))[3]^,[4]^,[5] et D. I. Falikman[6]. Egorychev et Falikman ont remporté le prix Fulkerson en 1982 pour ces preuves[7].

La formule de Ryser due à Herbert Ryser[10], est un algorithme de calcul du permanent basé sur le principe d'inclusion-exclusion[11] et qui peut être formulé comme suit : Pour une matrice ${\displaystyle A_{k}}$ obtenue en supprimant ${\displaystyle k}$ colonnes dans ${\displaystyle A}$, soit ${\displaystyle P(A_{k})}$ le produit des sommes des lignes de ${\displaystyle A_{k}}$. Soit ${\displaystyle \Sigma _{k}}$ la somme des ${\displaystyle P(A_{k})}$ pour toutes les matrices ${\displaystyle A_{k}}$. Alors

${\displaystyle \operatorname {perm} (A)=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\Sigma _{k}}$.

On peut réécrire la formule en fonction des entrées de la matrice comme suit[12] :

${\displaystyle \operatorname {perm} (A)=(-1)^{n}\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}(-1)^{|S|}\prod _{i=1}^{n}\sum _{j\in S}a_{ij}.}$

La formule de Ryser peut être évaluée en ${\displaystyle O(2^{n-1}n^{2})}$ operations artihmétiques, ou en ${\displaystyle O(2^{n-1}n)}$ se traitant les ensembles ${\displaystyle S}$ dans l'ordre donné par le code de Gray [13].