Pendule (régulateur d'horlogerie)

L'origine du pendule comme régulateur remonte à Galilée : après avoir observé l'isochronisme des oscillations d'une lampe suspendue, il envisage d'utiliser le pendule comme mesure du temps. À la fin de sa vie, il dicte à son Vincenzio Galilei des instructions pour construire une horloge basée sur ce principe, mais on ignore jusqu'où sont allés ces travaux dont les traces sont perdues. La première horloge à pendule attestée sera construite, une quinzaine d'années plus tard, par Salomon Coster et Christian Huygens[1].

Un pendule subit une altération de sa fréquence de fonctionnement du fait de la dilatation thermique de son bras. En notant ${\displaystyle \alpha }$ le coefficient de dilatation thermique, ${\displaystyle L_{0}}$ la longueur du bras à une température de référence, on obtient[2] :

${\displaystyle F={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {L_{0}(1+\alpha \Delta T)}{g}}}}$

${\displaystyle F=F_{0}{\sqrt {1+\alpha \Delta T}}\approx F_{0}(1+{\frac {\alpha \Delta T}{2}})}$

Ainsi dans l'exemple d'un bras en acier, avec ${\displaystyle \alpha =12\,\mathrm {ppm\cdot K^{-1}} }$, chaque kelvin de variation de température modifie la fréquence du pendule de 6 ppm, soit une demi-seconde d'erreur par jour. Ainsi, plusieurs méthodes ont été utilisées pour réduire cette dépendance à la température[3].

Le pendule à mercure a été inventé en 1721 par George Graham. Ici, le pendule comporte un tube rempli en partie de mercure, à la manière d'un thermomètre. Lorsque la température augmente, le mercure monte dans le tube, ce qui déplace le centre de gravité de la masse vers la rotule et compense la dilatation du bras[2].

Une autre solution, inventée en 1726 par John Harrison, est le pendule à grille. Le bras du pendule est constitué d'une alternance de tubes de deux métaux différents — dans la première version présentée par Harrisson, cinq tubes d'acier et quatre tubes de laiton. Les tubes sont attachés de sorte que la dilatation de l'acier tend à rallonger le bras du pendule, mais celle du laiton tend à le raccourcir. En calculant judicieusement les longueurs en fonction des coefficients de dilatation des deux métaux, on peut obtenir une compensation, et donc un pendule dont la longueur ne varie plus selon la température (au premier ordre)[2].

Construire le bras du pendule dans un matériau présentant un très faible coefficient de dilatation thermique parait être la solution la plus évidente, mais de tels matériaux ne furent disponibles que bien plus tard. Ce fut l'une première application de l'Invar, alliage ferronickel inventé en 1891 dont le coefficient de dilatation thermique est de seulement 1,2 ppm/K[4].

Réduction de l'influence de la température

Horloge dotée d'un pendule à mercure. Horloge dotée d'un pendule à mercure.  Principe d'un pendule à grille. Principe d'un pendule à grille.  Pendule à grille. Pendule à grille.

La fréquence du mouvement du pendule dépend de ${\displaystyle {\sqrt {g}}}$, g étant la valeur locale de l'accélération de la gravité. Or celle ci n'est pas constante sur Terre. La variation la plus importante est celle due à la latitude. Cette variation est due à la force centrifuge de la rotation de la terre qui annule une petite fraction de la gravité, et à la forme du géoïde. La formulation de cette dépendance à la latitude ${\displaystyle \theta }$ a été standardisée en 1967[5] sous la forme :

${\displaystyle g(\theta )=9,78031846\,\mathrm {m\cdot s^{-2}} \times \left(1+0,0053024\,sin^{2}\theta -0,0000058\,sin^{2}(2\theta )\right)}$

Ce qui correspond à 9,780 3 m s⁻² à l'équateur, 9,806 1 m s⁻² au pôle et 9,832 1 m s⁻² à 45° de latitude. Cette différence de 0,53 % entre le pôle et l'équateur est tout à fait sensible pour une horloge à pendule : cela se traduit par une différence de marche de 0,26 % (dépendance en racine carrée) soit près de quatre minutes par jour. Cette relation fut, dès le 17^e siècle, mise à profit pour réaliser à l'aide d'horloges des mesures de gravimétrie.

L'air qui environne le pendule influe sa course.

D'une part, la poussée d'Archimède exercée par l'air environnant réduit la valeur apparente du poids du balancier, en s'opposant à la gravité, mais elle n'influe pas son inertie. Cela réduit donc son accélération. En notant ${\displaystyle T_{0}}$ la période d'un pendule dans le vide, l'effet de la poussée d'archimède l'accroit à[6] :

${\displaystyle T=T_{0}\times (1+{\frac {\rho _{\text{air}}}{2\rho _{\text{bal}}}})}$.

Cet effet se réduit lorsque ${\displaystyle {\frac {\rho _{\text{air}}}{2\rho _{\text{bal}}}}}$ (rapport entre la masse volumique de l'air et celle du balancier) est faible, donc en utilisant un matériau dense pour le balancier.

Le deuxième effet est la traînée aérodynamique.

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