Paradoxe d'Achille et de la tortue

Dans le paradoxe de Zénon, on calcule la durée de l'événement « Achille rattrape la tortue » en additionnant tous les événements de type « Achille parcourt la distance jusqu'à la position actuelle de la tortue ». Or, ces durées sont de plus en plus petites, mais jamais égales à zéro, et leur nombre est infini.

L'erreur mathématique était de dire « donc Achille ne rattrape jamais la tortue », car l'analyse moderne démontre qu'une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.

Avec les vitesses 10 m/s pour Achille et 5 m/s pour la tortue qui a 100 m d'avance, la première étape prend 10 secondes, la suivante 5 secondes, etc. On obtient la série suivante : T = 10 + 5 + 2,5 + 1,25 + … Finalement, la durée exacte est : 20 secondes.

Plus formellement, la somme des étapes s'écrit :

${\displaystyle T=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {10}{2^{n}}}}$

C'est la somme d'une série géométrique. On utilise le résultat général :

La série géométrique réelle de terme initial ${\displaystyle a}$ et de raison ${\displaystyle q\in \left]-1,1\right[}$ est convergente, et sa somme vaut :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }aq^{n}={\frac {a}{1-q}}.}$

Et l'on trouve ici :

${\displaystyle T={\frac {10}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {10}{\frac {1}{2}}}=10\times 2=20.}$

On peut éviter les additions infinies en cherchant non pas à faire rattraper la tortue là où elle se trouve, mais en cherchant à quel moment Achille et la tortue seront au même point. Formellement, on cherche T tel que ${\displaystyle 10T=100+5T}$, ce qui donne ${\displaystyle 5T=100}$.

On retrouve ainsi ${\displaystyle T={\frac {100}{5}}=20}$.

Le graphique plus haut donne les positions respectives d'Achille et de la tortue.

La somme de l'infinité des termes de la série revient à suivre les lignes verticales rouges et horizontales bleues jusqu'à trouver un point de rencontre. La résolution de l'équation revient à chercher directement l'intersection des lignes « Achille » et « tortue ».

On notera aussi qu'à travers ce paradoxe, existe une volonté de montrer que l'infiniment petit n'existe pas. Pensée également partagée par Démocrite, l'inventeur de la notion d'atome. La physique quantique va elle aussi dans ce sens en admettant l'existence d'une unité de temps et d'une unité de taille toutes deux indivisibles — approximativement 10⁻⁴⁴ s et 10⁻³⁵ m (unités de Planck).

Si l'on utilise cette limite, il n'est plus possible de découper en une infinité d'étapes : on additionne donc un nombre fini de durées finies (non infiniment petites), et le total est une durée finie. Cependant, la résolution mathématique démontre bien que la durée reste finie même en acceptant le découpage en une infinité d'étapes, et donc cet exercice de pensée ne réfute pas l'existence de l'infiniment petit.