Orbitographie
En astronautique, l'orbitographie désigne la détermination des éléments orbitaux d'un satellite artificiel.
Deux problèmes célèbres d'orbitographie sont :
- le problème de Gauss qui consiste à déterminer l'orbite, puis le mouvement d'un corps, connaissant 3 positions successives, P1, P2, P3. C'est en retrouvant Cérès en 1801, à partir de données parcellaires recueillies en , que Gauss se fait connaître. Ce problème a donc été baptisé en son honneur.
- le problème de Lambert qui consiste à déterminer le mouvement d'un corps connaissant deux ensembles de positions et dates successives, {P1,t1} et {P2,t2}.
Problème de Gauss
Il peut aujourd'hui être traité avec les vecteurs, inventés par Gibbs vers 1890.
En désignant par O le point d'où sont faites les observations, les 3 vecteurs OP1, OP2 et OP3 définissent le plan de la trajectoire. Comme ils sont surabondants, le recours à la méthode des moindres carrés permet d'améliorer. D'où le vecteur perpendiculaire à ce plan, k . Soit à trouver la direction du périgée, i ; la direction orthogonale j : = i/\k complète le trièdre.
- Théorème de Gibbs : le vecteur de Gauss-Gibbs, G, donne la direction de j,
avec G := OP1 (r2-r3) + permutation circulaire.
Soient la demi-ellipse et sur elle, Po, le périgée, H le point de l'ellipse tel que OH // j, B le point du petit axe, et A l'apogée : on peut pour vérification, calculer les 4 vecteurs de Gibbs correspondants à 3 parmi 4 de ces positions. Cela permet d'acquérir de "l'intuition".
Le théorème de Gibbs permet donc d'accéder à l'angle :=(OPo,OP1), ainsi que les deux autres. Soient 3 équations type p = r1 + e . r1.cos , qui permettent, par moindres carrés de trouver p et e ; ce qui achève la détermination de l'orbite. Il faut évidemment au moins une date pour finir le problème du mouvement.
Remarque : l'intuition de Gauss était que 2e = ||G||/aire-triangle(P1P2P3). C'est exact (théorème 2 de Gibbs, laissé en exercice).
Remarque : n'a été traité que le cas de 3 points se succédant sur une demi-ellipse : si le décalage temporel atteint plus que la demi-période, il convient de faire attention à la disposition des 3 points.
- Démonstration du théorème de Gibbs :
On appelle vecteur excentricité le vecteur e : = OC/a, C étant le centre de l'ellipse. Ce vecteur est donc e = -e i .
On rappelle que c'est un invariant (SO4) du problème de Kepler :
e := r/r + Lo/\v/mGM ; (Lo := moment cinétique)
et en particulier, comme vu plus haut : p-r = e.r.
Calculer G.e : il vient (p-r1)(r2-r3) + perm-cir = 0 .
FIN de démonstration.
- théorème 2 de Gibbs :
Soit A : = r1/\r2 + permut.cir ; alors e = ||G||/||A||.
Encore une fois, pour se donner un peu d'intuition calculer les 4 cas particuliers indiqués précédemment. Puis passer à la démonstration.
- théorème 3 de Gibbs :
Soit enfin le vecteur-volume des aires pondérées : V : = (r1/\r2). r3 + permut.cir.
Alors p = ||V||/||A||.
Le vérifier d'abord sur les 4 cas. Le démontrer ensuite.
- On peut ensuite calculer le vecteur vitesse en chacun des 3 points via le vecteur-excentricité.
Problème de Lambert
remarquable travail en 1760 : déterminer le mouvement connaissant deux évènements.
Plummer (an introductory treatise on dynamical astronomy , 1960, ed Dover) donne la solution analytique de ce problème. Pollard (Celestial Mechanics, 1966, ed Prentice-Hall) y fait référence. Guiziou () propose l'élégante solution suivante : se ramener au problème de Gauss.
Plus précisément, soit P1 et P3 les 2 points. On définit le point P2 par : OP2 := k (OP1 + OP3), avec k pour le moment indéterminé. On est ainsi ramené au problème de Gauss-Gibbs. Il n'y a qu'un seul k qui donne une durée (t3-t1) pour décrire l'arc d'ellipse de P1 en P3 : on résout numériquement l'équation t3-t1 = f(k) ce qui donne k et achève le problème.
Référence
Droit français : arrêté du relatif à la terminologie des sciences et techniques spatiales.
