Odométrie

Pour calculer le mouvement global du robot à partir des mesures odométriques, il est nécessaire de disposer d'un modèle décrivant le déplacement du robot. L'exemple le plus courant en robotique est celui d'un robot dont le déplacement est contrôlé par le différentiel de vitesse entre les deux roues motrices.

Nous noterons :

• ${\displaystyle d_{g}}$ et ${\displaystyle d_{d}}$ les déplacements respectifs des roues gauche et droite
• ${\displaystyle v_{g}}$ et ${\displaystyle v_{d}}$ les vitesses respectives des roues gauches et droite
• ${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$,${\displaystyle \theta }$ les coordonnées du robot (position et orientation dans le sens trigonométrique)
• ${\displaystyle d}$ le déplacement du robot
• ${\displaystyle v}$ la vitesse du robot
• ${\displaystyle e}$ l'écart entre les deux roues
• ${\displaystyle x_{O}}$, ${\displaystyle y_{O}}$ et ${\displaystyle R}$ les coordonnées du centre ${\displaystyle O}$ du cercle trajectoire et le rayon de celui-ci

Si on suppose que la trajectoire du robot est un cercle de rayon ${\displaystyle R}$ parcouru à la vitesse angulaire ${\displaystyle \textstyle {\frac {d\theta }{dt}}}$ (${\displaystyle R>0}$ si le cercle est parcouru dans le sens trigonométrique), alors on a :

${\displaystyle v=R\;{\frac {d\theta }{dt}}}$

Dans ce cas, les vitesses des roues sont données par :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}v_{g}&=&\displaystyle (R-{\frac {e}{2}})\;{\frac {d\theta }{dt}}&=&\displaystyle (R-{\frac {e}{2}}){\frac {v}{R}}\\v_{d}&=&\displaystyle (R+{\frac {e}{2}})\;{\frac {d\theta }{dt}}&=&\displaystyle (R+{\frac {e}{2}}){\frac {v}{R}}\end{matrix}}\right.}$

Nous avons donc construit un modèle direct du déplacement du robot (i.e. un modèle permettant de calculer les vitesses ${\displaystyle v_{g}}$ et ${\displaystyle v_{d}}$ des roues en fonction des paramètres de la trajectoire globale ${\displaystyle v}$ et ${\displaystyle R}$.

L'odométrie va cependant nécessiter la connaissance du modèle inverse du déplacement du robot : connaissant les mesures odométriques, nous cherchons à retrouver les paramètres de la trajectoire. Nous pouvons supposer qu'à chaque instant et durant un intervalle de temps très court, la trajectoire du robot s'apparente à un cercle. Il nous suffit donc d'inverser le modèle direct précédemment construit pour un cercle, et nous pourrons reconstruire le rayon de courbure local de la trajectoire et la vitesse du robot.

L'inversion du système précédent nous donne :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}v&=&\displaystyle {\frac {v_{g}+v_{d}}{2}}\\R&=&\displaystyle {\frac {e}{2}}\,{\frac {v_{d}+v_{g}}{v_{d}-v_{g}}}\end{matrix}}\right.}$

Nous sommes maintenant en mesure de mettre à jour la position du robot en temps réel :

• à chaque instant, les mesures odométriques nous donnent les déplacements des roues ${\displaystyle d_{g}}$ et ${\displaystyle d_{d}}$ depuis l'instant précédent
• le modèle inverse (dans lequel l'intervalle de temps a été éliminé et les vitesses remplacées par des déplacements) nous permet de calculer le déplacement ${\displaystyle d}$ du robot et le rayon de courbure instantané ${\displaystyle R}$ de la trajectoire.
• on calcule le changement d'orientation ${\displaystyle d\theta }$ du robot et les coordonnées du centre ${\displaystyle O}$ du cercle trajectoire:

${\displaystyle d\theta ={\frac {d}{R}}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{O}&=&x-R\,\cos(\theta -{\frac {\pi }{2}})\\y_{O}&=&y-R\,\sin(\theta -{\frac {\pi }{2}})\end{matrix}}\right.}$

• on met à jour la position du robot :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\theta &\leftarrow &\theta +d\theta \\x&\leftarrow &x_{O}+R\,\cos(\theta -{\frac {\pi }{2}})\\y&\leftarrow &y_{O}+R\,\sin(\theta -{\frac {\pi }{2}})\end{matrix}}\right.}$