Numération maya

Façade Est de la stèle C de Quiriguá racontant la naissance du nouveau cycle du monde avec la date en compte long(13.0.0.0.0), puis dans le calendrier Tzolk'in (4 ahaw) et dans le calendrier Haab(8 kumku), suivie du récit de l'installation de 3 pierres[1]...

Les mayanistes ne disposent que de rares documents pour étudier le système de numération écrite maya. Tous les codices ont été brûlés lors de la conquête espagnole à l'exception de trois d'entre eux : le codex de Dresde, celui de Paris et celui de Madrid[2] . Il est donc pour l'instant impossible d'avoir une bonne idée de leur système métrologique (volume, surface, longueurs, quantité de graines, quantité de bétail...). À l'exception de quelques quantités (offrandes, nombre de prisonniers) les seules utilisations attestées concernent la mesure du temps[3].

Sur ce cas particulier, les traces de numération sont nombreuses : dans les cités, sur les stèles, les frontons de portes, les Mayas ont gravé l’histoire des cités et des rois ou la marche du Soleil et des planètes visibles à l’œil nu. De telles traces sur les monuments mayas sont relevées entre 290 après J.C. pour la plus ancienne jusqu'à 909 après J.C. pour la plus récente[4].

Sur les Codices, ils ont noté la marche des planètes visibles, ont calculé, à l'aide de tables de multiples, les occurrences de conjonctions entre leur divers calendriers dans un but numérologique et astrologique, pour déterminer les périodes fastes et néfastes à toute entreprise[5].

Dans les cités mayas, les gens utilisaient la numération parlée de leur langue (chol, yucatèque, etc.) et les scribes disposaient de plusieurs numérations écrites ainsi que d'un système d'unités de temps. Ces systèmes étaient tous de caractère vigésimal.

Trois colonnes de glyphes de la Stèle de La Mojarra. La colonne de gauche utilise la numération Maya, représentant ici la date 8.5.16.9.7 en Compte Long, ou encore l'an 156 apr. J.-C.

Pour écrire les petits nombres, par exemple la durée d'une lunaison (c'est-à-dire les entiers 29 ou 30) ou les petits déplacements (dans l'almanach divinatoire de 260 jours), les Mayas disposaient d'une numération de type additif utilisant trois signes pour 1, 5 et 20 ; dans cette écriture : '20,9' s'interprète 20 + 9. On trouve ainsi le nombre 62 écrit à l'aide de 3 signes « 20 » complétés de 2 points dans le codex de Madrid[6].

Les mayas utilisaient quatre systèmes principaux de comptage du temps. L'un, le calendrier Tzolk'in, fait référence à une année liturgique de 260 jours associant 20 noms de jours à 13 numéros de jours. Pour un tel calendrier, seuls 13 nombres sont nécessaires. Un autre, le calendrier Haab fait référence à l'année « vague » de 365 jours découpée en 18 mois de 20 jours et un mauvais mois de 5 jours. Utilisant un système de numérotation des jours dans le mois de 0 à 19, il ne leur était pas nécessaire de développer une numération au delà de 20. La donnée d'une date sous les deux formes Tzolk'in et Haab, permettait de préciser la position d'un événement sur une période de 18 980 jours (ou 52 années vagues), le calendar round[7].

Seul le dernier calendrier, utilisant le compte long, comptage du nombre de jours écoulés depuis la naissance d'un nouveau cycle du monde, naissance évaluée en 3114 avant J.C.[8], nécessitait de mettre en place un système de numération solide. Ce système consiste à compter le temps écoulés à l'aide d'une « année » (ou tun) de 360 jours (ou 360 kin), année découpée en 18 mois (ou uinal) de 20 jours. Un groupe de 20 tun porte le nom de katun, un groupe de 400 tun ou 20 katun porte le nom de baktun, s'ensuivent d'autres noms régulièrement construits : pictun pour 20 baktun, calabtun pour 20 pictun, etc[9].

Sur la plupart des dates en compte long figurant sur les monuments, c'est un système d'écriture avec unités qui est donnée, où la date est précisée en 5 glyphes en commençant par les poids forts (baktun. katun. tun. uinal. kin)[10]. Ainsi la plaque de Leyde indique une date de 8 baktun, 14 katun, 3 tun, 1 uinal, 12 kin soit 1 253 912 j écoulés depuis le point de départ du calendrier et permet de dater la plaque de l'an 320 de l'ère chrétienne[11]. Les distances, ou intervalles entre deux dates, quant à elles, sont souvent présentées avec leurs unités mais en commençant par les poids faibles (kin, uinal, tun, etc.)[12]. Malgré l'apparition d'un zéro de position, cette habitude de préciser les unités persiste sur les monuments tandis que la numération de position sans unité est majoritaire dans les codices[13].

La présence avérée d'un cycle de 13 baktun dans la cosmologie maya a pu faire croire que les dates en compte long ne devaient pas dépasser 13 baktun (et donc 5 chiffres). Cette hypothèse (dite hypothèse courte) est réfutée par l'existence d'intervalles de temps gravés en compte long et dépassant 13 baktuns[14] laissant soupçonner un système ouvert du comptage du temps.

Cette pratique du compte long et de l'écriture positionnelle associée n'est pas l'apanage de la civilisation maya et l'on trouve des écritures de ce type sur le site olmèque de Tres Zapotes qui daterait de 32 avant J.C[15], si les Olmèques ont bien pris le même point de départ, ou bien sur la Stèle n° 1 de La Mojarra datée de 156 après J.C.

Page 24 du codex de Dresde. Sur les lignes 3 à 5 des 4 dernières colonnes, on peut lire, par ordre décroissant les multiples de 2 920 (2 révolutions synodiques de Vénus) du premier 4.17.6.0 (= 12 × 2 920 ) au dernier 8.2.0 (= 2 920 )[16] avec la date correspondante dans le calendrier liturgique[17].

Cette sorte de numération très présente dans les codices est toujours utilisée dans le cadre du compte long et présente donc une irrégularité due au fait que dans un tun il n'y a que 18 uinal et non 20[3].

L'écriture d'un nombre se fait par empilement de chiffres. Chaque étage correspond à un poids 20 fois supérieur au poids de l'étage inférieur, à l'exception du passage du 2^e au 3^e étage où la multiplication n'est que de 18. Ainsi la valeur de l'étage le plus bas est multipliée par 1, du second étage par 20, du troisième étage par 20 × 18 = 360, du quatrième étage par 400 × 18 = 7200 et ainsi de suite, la valeur du n^e étage (pour n > 2) étant multipliée par 20^n-2 × 18. Par exemple :

Valeur Chiffres mayas note 27 1×20+7 358 17×20+18 340 17×20+0 101011 14×7200+0×360+10×20+11 Soit (par étage) : 14×202×18 + 0×20 × 18 + 10×201 + 11

Cette notation positionnelle est utilisée autant pour donner des dates que pour les intervalles de temps ou distance entre dates. Dans ce cadre, les Mayas distinguaient les distances positives vers le futur et les distances négatives, vers le passé qu'ils identifiaient à l'aide d'un symbole spécial mis sur le chiffre des unités (une sorte d'anneau)[18].

À cause de l'irrégularité présente entre le deuxième chiffre et le troisième, la multiplication par la base ne peut pas se réduire à un simple décalage des chiffres vers le haut. Cette absence de zéro opérateur, présent dans la numération sexagésimale savante mésopotamienne, est, pour Geneviève Guitel[19], une limitation de la numération maya, alors que Cauty et Hoppan font remarquer que cette irrégularité n'est pas un réel obstacle. En effet, si un nombre s'écrit, en numération maya ${\displaystyle c_{n}.c_{n-1}\dots c_{1}.c_{0}}$, le multiplier par 1.0 conduit bien à décaler tous les chiffres sauf les premiers: ${\displaystyle c_{n}.c_{n-1}\dots c_{1}.c_{0}\times 1.0=c_{n}.c_{n-1}\dots c_{1}.(c_{0}{\color {Red}+2c_{1}}).0}$ Si le nombre entre parenthèses est plus petit que 18, on obtient directement l'écriture du résultat. Sinon, un jeu sur les retenues, permet de trouver rapidement la bonne écriture[20].

Les scribes mayas disposaient, outre du système des chiffres point/barre ci-dessus, de nombreuses formes graphiques pour représenter les vingt chiffres nécessaires à l'écriture de leurs nombres (le plus souvent des durées) ou des unités de leur système d'unités de temps (les glyphes de période: kin, uinal, tun, katun, baktun, etc.). Le plus célèbre système est certainement celui des chiffres céphalomorphes (chaque chiffre, de 0 à 19, est représenté par un glyphe ayant la forme d'une tête). Chaque chiffre correspond à un dieu identifiable le plus souvent à ses attributs. On y retrouve des dieux célestes comme certains de l'Inframonde reconnaissables à la présence du maxillaire inférieur. Sur les vignettes apparaissent les nombres correspondant en 3 langues Maya : Yucatèque, puis Chol (langue de la plupart des cités classiques du Peten) puis K'iche'.

La construction des chiffres de 13 à 19, se rapproche de leur énonciation : il s'agit d'ajouter 10 (lahun - représentée par une tête de mort) aux chiffres 3, 4, ... ou 9. Les têtes représentants 13, 14, ..., 19 reprennent donc les têtes 3, 4, ..., 9 avec le simple ajout d'un maxillaire inférieur décharné[21].

Les scribes mayas utilisaient une numération vigésimale (à base vingt) et ils disposèrent de deux zéros distincts, marqués par des glyphes différents[22]. De manière générale, ils distinguaient toujours soigneusement les durées (de nature 'cardinale') et les dates (de nature 'ordinale'), par exemple dans les almanachs divinatoires, en écrivant les premières en noir et les secondes en rouge. . Ils ont donc crée deux types de zéro : un zéro ordinal et un zéro cardinal.

Ces formes font apparaître la spécificité des numérations mayas parlées précolombiennes, à savoir que les Mayas disposaient d'une opération que nous ne connaissons pas dans notre arithmétique. Une opération qui donne le résultat 45 quand on la fait porter sur les arguments 5 (Ho) et 60 (oxkal) ). Le linguiste Claude Hagège a proposé d'appeler cette opération « opération de protraction ». Le constituant «tu» («tuy» devant voyelle) est la contraction du locatif «ti» signifiant «vers, en » et de l'indice personnel de 3^e personne «u-», lequel sert à dériver l'ordinal à partir du cardinal (comme notre suffixe -ième qui fait passer de 3 à 3^e)[30].

Selon André Cauty, la numération parlée yucatèque est d'un type spécial que l'on peut dire ordinal en vision d'antériorité rétrograde[30]. En effet, si l'expression de 45 (Ho tuy oxkal) dit quelque chose comme «cinq vers le 3^e vingt», sa valeur numérique 45 ne peut être obtenue qu'en revenant au 2^e vingt.

Le relateur «tu> peut être sous-entendu comme dans 30 (lahucakal). Dans les composés de la deuxième vingtaine (de 21 à 39), les yucatèques ne précisent généralement pas le coefficient du «vingt» dont il est question (et qui ne peut être que le premier valant la peine d'être cité, c'est-à-dire 2) comme dans l'expression «hun tu kal» de 21[30].

La protraction concerne aussi les nœuds supérieurs de la numération comme 900 s'écrivant «ho tuy ox bak», expression dans laquelle «kal» est sous-entendu et qui peut se traduire par «cinq (vingtaines) vers la 3^e quatrecentaine»[30].

Les Mayas transcrivaient parfois par écrit les sons de l'expression parlée du petit nombre; les exemples sont rares (trois dans le codex de Dresde) mais ils sont précieux parce qu'on a alors une trace écrite de l'opération de protraction avec présence du syllabogramme «tu» qui fournit par exemple la valeur 35 à l'aide de trois composantes : le chiffre 15, la syllabe «tu» et le graphe «uinal» (le coefficient 2 étant là aussi élidé)[30].

La notation protractive est aussi attestée sur les monuments pour noter l'âge de la Lune. C'est le compte des jours depuis la nouvelle Lune qui s'exprime par un signe composé lorsqu'il est compris entre 21 et 30. Dans ce cas, le scribe n'écrivait pas le signe «tu» de l'opération de protraction et juxtaposait les deux arguments. L'âge 29 par exemple s'écrivait «9,20», dans l'ordre croissant. Cet ordre distingue la notion d'âge de la lune de celle de durée d'une lunaison et oppose la protraction à l'addition : par exemple, la lunaison de vingt-neuf jours, elle, était notée «20,9» dans l'ordre décroissant des arguments[31].

• (en) Helaine Selin (dir.), Encyclopædia of the History of Science, Technology, and Medecine in Non-Western Cultures, Springer Verlag, 2008;
  • Martha J. Macri Jones, « Astronomy in Mesoamerica », dans Encyclopædia of the History of Science, Technology, and Medecine in Non-Western Cultures;
  • Tom Jones, « Calendars in Mesoamerica », dans Encyclopædia of the History of Science, Technology, and Medecine in Non-Western Cultures;
  • Keith Jordan, « Cosmology in Mesoamerica », dans Encyclopædia of the History of Science, Technology, and Medecine in Non-Western Cultures;
  • Vincent H. Malmström, « Long count », dans Encyclopædia of the History of Science, Technology, and Medecine in Non-Western Cultures;
  • Michael P. Closs, « Mathematics : Maya Mathematics », dans Encyclopædia of the History of Science, Technology, and Medecine in Non-Western Cultures.
• Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Paris, Seghers, 1981, 567 p. (ISBN 2-221-50205-1);
• André Cauty et Jean-Michel Hoppan, « Les Écritures mayas du Nombre », 2007;
• André Cauty, « Lire et faire parler un texte : par qui et comment les pages 24 à 29 du «Codex de Dresde» peuvent-elles être traduites », Amerindia, n^o 23,‎ 1998 (lire en ligne).