Noyau de Szegő

Dans l'étude mathématique des fonctions de plusieurs variables complexes, le noyau de Szegő est un noyau intégral qui donne naissance à un noyau de reproduction sur un espace de Hilbert naturel de fonctions holomorphes. Il doit son nom à son découvreur, le mathématicien hongrois Gábor Szegő .

Soit Ω un domaine borné de C ⁿ avec une frontière C ², et soit A ( Ω ) l'ensemble des fonctions holomorphes dans Ω qui sont continues sur ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ . Définissons l'espace de Hardy H ² (∂ Ω ) comme la fermeture, dans L ² (∂ Ω ) des restrictions des éléments de A ( Ω ) à la frontière. L'intégrale de Poisson implique que chaque élément ƒ de H ² (∂ Ω ) s'étend en une fonction holomorphe P ƒ dans Ω . De plus, pour chaque z   ∈   Ω, l'application

${\displaystyle f\mapsto Pf(z)}$

définit une forme linéaire continue sur H ² (∂ Ω ). Par le théorème de représentation de Riesz, cette forme linéaire est représentée par un noyau k _z, c'est-à-dire

${\displaystyle Pf(z)=\int _{\partial \Omega }f(\zeta ){\overline {k_{z}(\zeta )}}\,d\sigma (\zeta ).}$

Le noyau de Szegő est défini par

${\displaystyle S(z,\zeta )={\overline {k_{z}(\zeta )}},\quad z\in \Omega ,\zeta \in \partial \Omega .}$

Comme son cousin voisin, le noyau de Bergman, le noyau de Szegő est holomorphe en z . En fait, si φ _i est une base orthonormée de H ² (∂ Ω ) constituée entièrement des restrictions de fonctions dans A ( Ω ), alors une application du théorème de Riesz – Fischer montre que

${\displaystyle S(z,\zeta )=\sum _{i=1}^{\infty }\phi _{i}(z){\overline {\phi _{i}(\zeta )}}.}$