Notation des puissances itérées de Knuth

L'itération d'une fonction simple est utilisée en arithmétique pour définir une opération plus complexe. À partir de la fonction successeur, qui permet de construire les entiers naturels par incrémentations[1] successives, l'addition est ainsi définie comme une incrémentation itérée :

${\displaystyle {\begin{matrix}a+b=a+\underbrace {1_{}+1+\dots +1} \\\qquad \quad \ \ b{\mbox{ exemplaires de }}1\end{matrix}}}$

La multiplication est définie comme une addition itérée :

${\displaystyle {\begin{matrix}a\times b=\underbrace {a_{}+a+\dots +a} \\\qquad \quad \ \ b{\mbox{ exemplaires de }}a\end{matrix}}}$

De même, l'exponentiation est définie comme une multiplication itérée :

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{b}=\underbrace {a_{}\times a\times \dots \times a} \\\qquad \ b{\mbox{ exemplaires de }}a\end{matrix}}}$

À partir de l'incrémentation comme opération primitive, les itérations successives permettent de définir d'abord l'addition, puis la multiplication, puis l'exponentiation. Knuth a voulu généraliser ce principe ; pour cela il a introduit une notation nouvelle pour l’exponentiation, la flèche vers le haut :

${\displaystyle a\uparrow b=a^{b}}$

qu'il peut ainsi généraliser, utilisant la double flèche vers le haut pour l'exponentiation itérée — qu'il appelle la tétration :

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} =a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}\\\ \ \ b{\mbox{ exemplaires de }}a\end{matrix}}}$

Conformément à cette définition, on obtient :

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27\,\!}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7\,625\,597\,484\,987\,\!}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7\,625\,597\,484\,987}\,\!}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}\,\!}$

etc.

Le terme ${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}}$ est de la forme ${\displaystyle 12580...39387}$ et a ${\displaystyle 3\,638\,334\,640\,025}$ chiffres[2], soit plus de ${\displaystyle 3,6\times 10^{12}}$ chiffres décimaux.

Cela permet assurément d'écrire de très grands nombres, mais Knuth ne s'est pas arrêté là. Il a poursuivi en définissant l'opérateur triple flèche vers le haut qui est l'application itérée de l'opérateur double flèche vers le haut :

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow a} =a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a)))\\\qquad \qquad \ \,b{\mbox{ exemplaires de }}a\end{matrix}}}$ (les opérations étant effectuées de la droite vers la gauche)

puis il a poursuivi avec l'opérateur quadruple flèche vers le haut :

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow \uparrow a} \\\qquad \qquad \quad b{\mbox{ exemplaires de }}a\end{matrix}}}$

et ainsi de suite. La règle générale stipule que l'opérateur[3] n-flèche ${\displaystyle b}$ est une suite de ${\displaystyle b}$ opérateurs (n − 1)-flèches. Plus généralement,

${\displaystyle {\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ b=a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \dots \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\\\quad \ \ \,n\qquad \ \ \ \underbrace {\quad n_{}\!-\!\!1\quad \ \,n\!-\!\!1\qquad \quad \ \ \ \,n\!-\!\!1\ \ \ } \\\qquad \qquad \quad \ \ b{\mbox{ exemplaires de }}a\end{matrix}}}$

L'exponentiation n'est pas commutative : si a et b sont différents, ${\displaystyle a\uparrow b}$ est différent de ${\displaystyle b\uparrow a}$. Il en est de même pour les opérateurs qui suivent :${\displaystyle \uparrow }$, ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$, ${\displaystyle \uparrow \uparrow \uparrow }$, etc.

Même si aucune parenthèse n'est écrite, les calculs sont associés prioritairement à droite pour chacun des opérateurs ${\displaystyle \uparrow }$, ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$, ${\displaystyle \uparrow \uparrow \uparrow }$, etc.

Exemple : ${\displaystyle 3\uparrow 2\uparrow \uparrow 3\uparrow 4}$ =${\displaystyle 3\uparrow (2\uparrow \uparrow (3\uparrow 4)))}$

En effet, l'exponentiation n'est pas associative, par conséquent l’ordre dans lequel les opérations sont effectuées est important. Ainsi ${\displaystyle 3\uparrow (2\uparrow 3)}$ (à savoir ${\displaystyle 3\uparrow 8=6\,561}$) n'est pas ${\displaystyle (3\uparrow 2)\uparrow 3}$ (à savoir ${\displaystyle 9\uparrow 3=729}$). Dans ce qui précède, les opérations sont effectuées de la droite vers la gauche, autrement dit, on associe les parenthèses de la droite vers la gauche.

Remarquons qu'en vertu des règles de la puissance, on obtient ${\displaystyle (3\uparrow 2)\uparrow 3}$ =${\displaystyle (3\uparrow 2)\times (3\uparrow 2)\times (3\uparrow 2)}$= ${\displaystyle 3\uparrow (2\times 3)}$. Si on choisissait l'association prioritaire à gauche, cela rapporterait le deuxième opérateur de puissance à une 'simple' opération de multiplication. La croissance d'une puissance est plus forte quand on fait croître le terme de droite (c'est à l'origine de la non-commutativité) :

${\displaystyle 3\uparrow (2\uparrow 3)}$ =${\displaystyle 3\uparrow (2\times 2\times 2)}$= ${\displaystyle 3\uparrow 8}$ est supérieur à ${\displaystyle (3\uparrow 2)\uparrow 3}$= ${\displaystyle (3\times 3)\uparrow 3}$ = ${\displaystyle 9\uparrow 3}$ .

L'association est donc choisie prioritaire à droite ; c'est le seul choix qui produit une croissance digne d'un nouveau signe opératoire.
Le résultat de ${\displaystyle 3\uparrow 2\uparrow 3}$ sera donc 6 561 et non 729.