Nombre triangulaire centré

Un nombre triangulaire centré est un nombre figuré polygonal centré qui peut être représenté par un triangle avec un point placé en son centre et tous les autres points disposés autour de ce centre. Pour tout entier naturel n non nul, le n-ième nombre triangulaire centré est donc égal à 1 + 3 fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire régulier :

${\displaystyle C_{3,n}=1+3T_{n-1}=1+3\,{\frac {n(n-1)}{2}}={3n^{2}-3n+2 \over 2}.}$

Les quatre premiers nombres triangulaires centrés sont
1,
1 + 3 = 4,
4 + 6 = 10 et
10 + 9 = 19.

L'image ci-contre montre la construction des nombres triangulaires centrés : à chaque étape, la figure est entourée d'un nouveau triangle de couleur différente.

Ils forment la suite d'entiers  A005448 de l'OEIS[1] : 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109 et 136, etc.

La sous-suite de ceux qui sont premiers est 19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, etc. (suite A125602 de l'OEIS).

Tout nombre triangulaire centré supérieur ou égal à 10 est la somme de trois nombres triangulaires réguliers consécutifs : ${\displaystyle \forall n\geq 3\quad C_{3,n}=T_{n-2}+T_{n-1}+T_{n}.}$ Pour tout n ≥ 1, la somme des n premiers nombres triangulaires centrés est égale à n(n² + 1)/2. Si n ≠ 2, ce nombre est la constante magique de tout carré magique normal d'ordre n.