Nombre de Lucas-Carmichael

En arithmétique, un nombre de Lucas-Carmichael est un entier positif composé n tel que si p est un facteur premier de n, alors p + 1 est un diviseur de n + 1.

Ne doit pas être confondu avec Nombre de Lucas, Nombre de Carmichael ni Nombre de Carmichael-Lucas[1].

Par convention, on ne considère un entier comme étant un nombre de Lucas-Carmichael que s'il est sans facteur carré, sinon tous les cubes de nombres premiers tels que 8 ou 27 seraient des nombres de Lucas-Carmichael (car n3 + 1 = (n + 1)(n2 − n + 1) est toujours divisible par n + 1).

Exemple

399 = 3 × 7 × 19 est un nombre de Lucas-Carmichael car 399 + 1 = 400 et 3 + 1, 7 + 1 ainsi que 19 + 1 sont tous des diviseurs de 400.

Propriétés

Le plus petit nombre de Lucas-Carmichael est 399. Le plus petit à 5 facteurs est 588 455 = 5 × 7 × 17 × 23 × 43.

On ne sait pas s'il existe un nombre de Lucas-Carmichael qui soit aussi un nombre de Carmichael.

Liste

Les 92 premiers nombres de Lucas-Carmichael sont (suite A006972 de l'OEIS) :

399= 3 × 7 × 19
935= 5 × 11 × 17
2 015= 5 × 13 × 31
2 915= 5 × 11 × 53
4 991= 7 × 23 × 31
5 719= 7 × 19 × 43
7 055= 5 × 17 × 83
8 855= 5 × 7 × 11 × 23
12 719= 7 × 23 × 79
18 095= 5 × 7 × 11 × 47
20 705= 5 × 41 × 101
20 999= 11 × 23 × 83
22 847= 11 × 31 × 67
29 315= 5 × 11 × 13 × 41
31 535= 5 × 7 × 17 × 53
46 079= 11 × 59 × 71
51 359= 7 × 11 × 23 × 291
60 059= 19 × 29 × 109
63 503= 11 × 23 × 251
67 199= 11 × 41 × 149
73 535= 5 × 7 × 11 × 191
76 751= 23 × 47 × 71
80 189= 17 × 53 × 89
81 719= 11 × 17 × 19 × 23
88 559= 19 × 59 × 79
90 287= 17 × 47 × 113
104 663= 13 × 83 × 97
117 215= 5 × 7 × 17 × 197
120 581= 17 × 41 × 173
147 455= 5 × 7 × 11 × 383
152 279= 29 × 59 × 89
155 819= 19 × 59 × 139
162 687= 3 × 7 × 61 × 127
191 807= 7 × 11 × 47 × 53
194 327= 7 × 17 × 23 × 71
196 559= 11 × 107 × 167
214 199= 23 × 67 × 139
218 735= 5 × 11 × 41 × 97
230 159= 47 × 59 × 83
265 895= 5 × 7 × 71 × 107
357 599= 11 × 19 × 29 × 59
388 079= 23 × 47 × 359
390 335= 5 × 11 × 47 × 151
482 143= 31 × 103 × 151
588 455= 5 × 7 × 17 × 23 × 43
653 939= 11 × 13 × 17 × 269
663 679= 31 × 79 × 271
676 799= 19 × 179 × 199
709 019= 17 × 179 × 233
741 311= 53 × 71 × 197
760 655= 5 × 7 × 103 × 211
761 039= 17 × 89 × 503
776 567= 11 × 227 × 311
798 215= 5 × 11 × 23 × 631
880 319= 11 × 191 × 419
895 679= 17 × 19 × 47 × 59
913 031= 7 × 23 × 53 × 107
966 239= 31 × 71 × 439
966 779= 11 × 179 × 491
973 559= 29 × 59 × 569
1 010 735= 5 × 11 × 17 × 23 × 47
1 017 359= 7 × 23 × 71 × 89
1 097 459= 11 × 19 × 59 × 89
1 162 349= 29 × 149 × 269
1 241 099= 19 × 83 × 787
1 256 759= 7 × 17 × 59 × 179
1 525 499= 53 × 107 × 269
1 554 119= 7 × 53 × 59 × 71
1 584 599= 37 × 113 × 379
1 587 599= 13 × 97 × 1259
1 659 119= 7 × 11 × 29 × 743
1 707 839= 7 × 29 × 47 × 179
1 710 863= 7 × 11 × 17 × 1307
1 719 119= 47 × 79 × 463
1 811 687= 23 × 227 × 347
1 901 735= 5 × 11 × 71 × 487
1 915 199= 11 × 13 × 59 × 227
1 965 599= 79 × 139 × 179
2 048 255= 5 × 11 × 167 × 223
2 055 095= 5 × 7 × 71 × 827
2 150 819= 11 × 19 × 41 × 251
2 193 119= 17 × 23 × 71 × 79
2 249 999= 19 × 79 × 1499
2 276 351= 7 × 11 × 17 × 37 × 47
2 416 679= 23 × 179 × 587
2 581 319= 13 × 29 × 41 × 167
2 647 679= 31 × 223 × 383
2 756 159= 7 × 17 × 19 × 23 × 53
2 924 099= 29 × 59 × 1709
3 106 799= 29 × 149 × 719
3 228 119= 19 × 23 × 83 × 89
3 235 967= 7 × 17 × 71 × 383.

Notes et références
  1. (en) Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, Springer Science & Business Media, (lire en ligne), p. 108.
  • Arithmétique et théorie des nombres
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