Nombre de Dudeney

Un nombre de Dudeney est un entier qui est un cube parfait tel que la somme de ses chiffres donne la racine cubique de ce nombre. Le nom provient de Henry Dudeney, qui remarqua leur existence dans une de ses énigmes, où un professeur en retraite postula obtenir une méthode générale d'extraction des racines.

Il y a exactement six nombres de Dudeneyen base 10[1] :

    1 =  1 ×  1 ×  1   ;   1 = 1
  512 =  8 ×  8 ×  8   ;   8 = 5 + 1 + 2
 4913 = 17 × 17 × 17   ;  17 = 4 + 9 + 1 + 3
 5832 = 18 × 18 × 18   ;  18 = 5 + 8 + 3 + 2
17576 = 26 × 26 × 26   ;  26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6
19683 = 27 × 27 × 27   ;  27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3

Note

Si $A=a^{3}$ est un nombre de Dudeney, et n est le nombre de chiffres de a, A a au plus 3n chiffres, et donc $10^{n-1}\leq a\leq 27n$ , d´où $n\leq 2$ et $a\leq 54$ ; Dudeney conclut par une recherche exhaustive.

Bibliographie

H. E. Dudeney, 536 Puzzles & Curious Problems, Souvenir Press, London, 1968, p 36

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] Si $A=a^{3}$ est un nombre de Dudeney, et n est le nombre de chiffres de a, A a au plus 3n chiffres, et donc $10^{n-1}\leq a\leq 27n$ , d´où $n\leq 2$ et $a\leq 54$ ; Dudeney conclut par une recherche exhaustive.