Nombre de Dottie

Le nombre de Dottie est un nombre remarquable, défini comme l'unique solution de l'équation x - cos(x)=0[alpha 1].

Représentation graphique du nombre de Dottie

Sa valeur approchée est 0,739085133215[alpha 2].

Sa représentation géométrique est le point d'intersection de la droite d'équation y = x et de la courbe d'équation y = cos (x).

On ne connait pas actuellement d'application utilisant cette valeur, ni en algèbre, ni en géométrie, ni en sciences appliquées ; le professeur de mathématiques qui lui a donné son nom l'utilise uniquement comme source d'exercices pour ses étudiants[1].

Le nombre de Dottie est transcendant d'après le théorème d'Hermite-Lindemann[2]^,[alpha 3].

Valeurs trigonométriques liées à ce nombre

Appelons $D$ le nombre de Dottie, on a :

sin(D) \approx 0,673612029183

tan(D) \approx 0,911413312094

Bibliographie

James Stewart Single Variable Calculus : Concepts and Contexts Brook/Cole 2010, (ISBN 978-0-495-55972-6), page 314
Kaplan S.R. The Dottie Number Math.Mag. 80, 2007, pages 73 et 74
Miller T.H. On the Numerical Values of the Roots of the Equation cos x = x Proc. Edimburg Math. Soc. 9, 1890, pages 80 à 83
Bertrand J. Exercice III Traité d'Algèbre Vol 1-3, 4^e édition Paris Librairie de L. Hachette et C^ie, 1865, page 285

Notes et références

Notes

x est, naturellement, exprimé en radians.
Le site en russe de pikabu donne plus précisément comme valeur 0,739085 133215 160641 66... voir le lien http://pikabu.ru/story/kosinus_07390851332_1230436.
Une calculette d'ordinateur à 32 décimales donne le nombre 0,739085 133215 160641 655312 087673 87...
On note $D$ le nombre de Dottie. Supposons qu'il n'est pas transcendant. Il est donc algébrique et donc son produit par i aussi. De plus par définition, ${\mathtt {Re}}(e^{iD})=D$ . Mais alors d'après le théorème d'Hermite-Lindemann, on a $e^{iD}$ qui est transcendant. Or comme ${\mathtt {Re}}(e^{iD})^{2}+{\mathtt {Im}}(e^{iD})^{2}=1$ , ${\mathtt {Re}}(e^{iD})$ est transcendant aussi, et n'est donc pas algébrique : on aboutit à une contradiction si l'on suppose $D$ algébrique. $D$ est donc transcendant.

Références

Samuel R Kaplan, « The Dottie Number », Mathematics Magazine, vol. 80,‎ février 2007, p. 73 (lire en ligne, consulté le 29 novembre 2017)
(en) Eric W. Weisstein, « Dottie Number », sur MathWorld

Liens externes

Jérôme Cottanceau, « Les nombres magiques », sur Chou romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes, 27 septembre 2008

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[1] x est, naturellement, exprimé en radians.

[2] Le site en russe de pikabu donne plus précisément comme valeur 0,739085 133215 160641 66... voir le lien http://pikabu.ru/story/kosinus_07390851332_1230436.
Une calculette d'ordinateur à 32 décimales donne le nombre 0,739085 133215 160641 655312 087673 87...

[5] On note $D$ le nombre de Dottie. Supposons qu'il n'est pas transcendant. Il est donc algébrique et donc son produit par i aussi. De plus par définition, ${\mathtt {Re}}(e^{iD})=D$ . Mais alors d'après le théorème d'Hermite-Lindemann, on a $e^{iD}$ qui est transcendant. Or comme ${\mathtt {Re}}(e^{iD})^{2}+{\mathtt {Im}}(e^{iD})^{2}=1$ , ${\mathtt {Re}}(e^{iD})$ est transcendant aussi, et n'est donc pas algébrique : on aboutit à une contradiction si l'on suppose $D$ algébrique. $D$ est donc transcendant.

[Kaplan-3] Samuel R Kaplan, « The Dottie Number », Mathematics Magazine, vol. 80,‎ février 2007, p. 73 (lire en ligne, consulté le 29 novembre 2017)

[4] (en) Eric W. Weisstein, « Dottie Number », sur MathWorld