Nilradical

Soit A un anneau commutatif. Le nilradical de A est l'ensemble des éléments nilpotents de A.

${\displaystyle {\text{Nil}}(A):=\{x\in A\,|\,\exists n\in \mathbb {N} ^{*},\;x^{n}=0_{A}\}}$

En d'autres termes, c'est l'idéal radical de l'idéal réduit à 0.

En notant Nil(A) le nilradical de A, on a les énoncés suivants :

1. Nil(A) est un idéal ;
2. L'anneau quotient A/Nil(A) n'a pas d'éléments nilpotents (hormis 0) ;
3. Si P est un idéal premier de A, alors Nil(A) est inclus dans P ;
4. Si s est un élément de A qui n'appartient pas à Nil(A), alors il existe un idéal premier auquel s n'appartient pas ;
5. Nil(A) est l'intersection de tous les idéaux premiers de A.

Les preuves des points 4 et 5 reposent sur l'axiome du choix.

Démonstrations :

1. Le point méritant justification est la preuve de la stabilité par addition. Soit x et y deux nilpotents, et m, n deux entiers strictement positifs tels que x^m = yⁿ = 0. Dans le développement de l'expression (x+y)^m+n-1 par la formule du binôme de Newton, chaque terme est alors nul, donc aussi (x+y)^m+n-1 = 0 ;
2. Soit x un nilpotent de A/Nil(A), projection sur ce quotient d'un x de A, et soit m un entier tel que (x)^m = 0.
   Par définition d'un anneau quotient, x^m est donc nilpotent, donc x aussi, donc x = 0 dans l'anneau quotient ;
3. Soit x nilpotent, et m tel que x^m = 0. En d'autres termes, le produit x.x…x (avec m facteurs tous égaux à x) est nul. Il est donc élément de P. Par définition d'un idéal premier, l'un des facteurs de ce produit doit être dans P, donc x appartient à P ;
4. Soit s ∉ Nil(A), c'est-à-dire s non nilpotent. On note E l'ensemble des idéaux de A qui ne contiennent aucune puissance de s.
   L'inclusion est un ordre inductif sur E (il est ici important de remarquer que E n'est pas vide car il contient l'idéal réduit à 0 – c'est là qu'on utilise la non-nilpotence de s). D'après le lemme de Zorn, E admet donc un élément maximal. Notons P un tel idéal maximal. On remarque que comme P ne contient aucune puissance de s, P est une partie stricte de A.
   Montrons que P est premier. Soient x et y n'appartenant pas à P, il s'agit de prouver que le produit xy n'appartient pas non plus à P.
   Comme x n'est pas dans P, l'idéal P + Ax contient strictement P, donc vu la maximalité de P au sein de E, P + Ax ne peut être élément de E – en d'autres termes, il contient une puissance de s. Il existe donc un p ∈ P, un a ∈ A et un k entier positif tels que :s^k = p+ax.De même, il existe q ∈ P, b ∈ A et l entier positif tels que :s^l = q+by.On a alors :s^k+l = (p+ax)(q+by) = pq + (ax)q + (by)p + (ab)(xy).Or s^k+l n'appartient pas à P (car P est un élément de E), tandis que pq + (ax)q + (by)p est dans P (parce que p et q y sont). Donc xy n'appartient pas à P.
   Donc P est un idéal premier ;
5. C'est la synthèse des points 3 et 4.

(en) Michael Atiyah et Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Cambridge, Addison-Wesley, 1969 (ISBN 978-0-201-00361-1, lire en ligne), p. 5

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