Montages de base de l'amplificateur opérationnel

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$.
Il y a aussi une contre-réaction négative (liaison physique entre sortie et entrée inverseuse), donc l'étude se fait en mode linéaire, ce qui engendre ${\displaystyle V_{\mathrm {ed} }=0}$ et ${\displaystyle V^{+}=V^{-}}$.

Calcul des potentiels ${\displaystyle V^{+}}$ et ${\displaystyle V^{-}}$ :

• ${\displaystyle V^{+}}$ est obtenu grâce au pont diviseur de tension à vide :

${\displaystyle V^{+}={R_{g} \over (R_{2}+R_{g})}V_{2}}$

• ${\displaystyle V^{-}}$ est obtenu grâce au théorème de Millman :

${\displaystyle V^{-}={{{V_{s} \over R_{f}}+{V_{1} \over R_{1}}} \over {{1 \over R_{f}}+{1 \over R_{1}}}}={{V_{1}.R_{f}+V_{s}.R_{1}} \over {R_{1}+R_{f}}}}$

• Comme :

${\displaystyle V^{+}=V^{-}}$ ${\displaystyle {R_{g} \over {R_{2}+R_{g}}}V_{2}={{V_{1}.R_{f}+V_{s}.R_{1}} \over {R_{1}+R_{f}}}}$ ${\displaystyle {{R_{1}+R_{f}} \over {R_{2}+R_{g}}}R_{g}.V_{2}=V_{1}.R_{f}+V_{s}.R_{1}}$ ${\displaystyle {{R_{1}+R_{f}} \over {R_{2}+R_{g}}}R_{g}.V_{2}-V_{1}.R_{f}=V_{s}.R_{1}}$

• On obtient le résultat escompté :

${\displaystyle V_{s}={{R_{1}+R_{f}} \over {R_{2}+R_{g}}}{R_{g} \over R_{1}}V_{2}-{R_{f} \over R_{1}}V_{1}}$

• Condition de mise en facteur :

${\displaystyle {{R_{1}+R_{f}} \over {R_{2}+R_{g}}}{R_{g} \over R_{1}}={R_{f} \over R_{1}}}$ ${\displaystyle (R_{1}+R_{f})R_{g}=R_{f}(R_{2}+R_{g})}$ ${\displaystyle R_{1}.R_{g}=R_{2}.R_{f}}$

• Quand ${\displaystyle {\frac {R_{f}}{R_{1}}}={\frac {R_{g}}{R_{2}}}}$ ⇒ amplificateur de différence dont le gain est ${\displaystyle R_{f} \over R_{1}}$
• Quand ${\displaystyle R_{1}=R_{\mathrm {f} }}$ et ${\displaystyle R_{2}=R_{\mathrm {g} }}$ ⇒ soustracteur.

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$.
Il y a aussi une contre-réaction négative (liaison physique entre sortie et entrée inverseuse), donc l'étude se fait en mode linéaire, ce qui engendre ${\displaystyle V_{\mathrm {ed} }=0}$ et ${\displaystyle V^{+}=V^{-}}$.
Donc : ${\displaystyle V^{+}=0}$ et d'après le théorème de Millman : ${\displaystyle V^{-}={\left({V_{\mathrm {e} } \over R_{\mathrm {1} }}+{V_{\mathrm {s} } \over R_{\mathrm {2} }}\right) \over {{1 \over R_{\mathrm {1} }}+{1 \over R_{\mathrm {2} }}}}}$.

Or, comme ${\displaystyle V^{+}=V^{-}}$ on a : ${\displaystyle 0=\left({V_{\mathrm {e} } \over R_{\mathrm {1} }}+{V_{\mathrm {s} } \over R_{\mathrm {2} }}\right)}$.
Donc ${\displaystyle V_{\mathrm {s} }=-V_{\mathrm {e} }\left({R_{\mathrm {2} } \over R_{\mathrm {1} }}\right)}$

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$.
Il y a aussi une contre-réaction négative (liaison physique entre sortie et entrée inverseuse), donc l'étude se fait en mode linéaire, ce qui engendre ${\displaystyle V_{\mathrm {ed} }=0}$ et ${\displaystyle V^{+}=V^{-}}$.
Par technique de superposition sur l'entrée inverseuse de l'amplificateur opérationnel, donc ${\displaystyle V_{\mathrm {e} }\left(R_{1}+R_{2}\right)=0*R_{2}+R_{1}*V_{\mathrm {s} }}$
Donc ${\displaystyle V_{\mathrm {s} }=V_{\mathrm {e} }\left(1+{R_{2} \over R_{1}}\right)}$

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$.
Il y a aussi une rétroaction négative (liaison physique entre sortie et entrée inverseuse), donc l'étude se fait en mode linéaire, ce qui engendre ${\displaystyle V_{\mathrm {ed} }=0}$.
En effectuant une loi de maille : ${\displaystyle V_{\mathrm {s} }=V_{\mathrm {e} }+V_{\mathrm {ed} }}$, or ${\displaystyle V_{\mathrm {ed} }=0}$ donc ${\displaystyle V_{\mathrm {s} }=V_{\mathrm {e} }}$.

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$.
Il y a aussi une contre-réaction négative (liaison physique entre sortie et entrée inverseuse), donc l'étude se fait en mode linéaire, ce qui engendre ${\displaystyle V_{\mathrm {ed} }=0}$ et ${\displaystyle V^{+}=V^{-}}$.

Application du théorème de Millman en ${\displaystyle V^{-}}$

${\displaystyle V^{-}={{V_{s} \over R_{f}}+{\sum _{n\geqslant 1}{{V_{n}} \over {R_{n}}}} \over {{1 \over R_{f}}+\sum _{n\geqslant 1}{1 \over {R_{n}}}}}}$

Or :

${\displaystyle V^{+}=0=V^{-}}$

Ainsi :

${\displaystyle V^{-}={V_{s} \over R_{f}}+{\sum _{n\geqslant 1}{V_{n} \over R_{n}}}=0}$ ${\displaystyle {V_{s} \over R_{f}}=-{\sum _{n\geqslant 1}{V_{n} \over R_{n}}}}$

On obtient le résultat escompté :

${\displaystyle V_{s}=-R_{f}{\sum _{n\geqslant 1}{V_{n} \over R_{n}}}}$

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$ et que ${\displaystyle V^{+}=V^{-}=0}$. Le courant ${\displaystyle I}$ traversant R et C est donné par :

${\displaystyle I(t)={\frac {V_{e}(t)}{R}}}$

Il peut aussi être exprimé en fonction de la tension de sortie :

${\displaystyle I(t)=-C{\frac {dV_{\mathrm {s} }(t)}{dt}}}$

En utilisant les deux équations précédentes on obtient :

${\displaystyle V_{\mathrm {s} }(t)=-\left({1 \over RC}\right)\int {V_{\mathrm {e} }(t)dt}}$

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$ et que ${\displaystyle V^{+}=V^{-}=0}$. Le courant ${\displaystyle I}$ traversant R et C est donné par :

${\displaystyle I(t)=-{\frac {V_{s}(t)}{R}}}$

Il peut aussi être exprimé en fonction de la tension d'entrée :

${\displaystyle I(t)=C{\frac {dV_{\mathrm {e} }(t)}{dt}}}$

En utilisant les deux équations précédentes on obtient :

${\displaystyle V_{\mathrm {s} }(t)=-RC{\frac {dV_{\mathrm {e} }(t)}{dt}}}$

${\displaystyle V_{\epsilon +}=V_{e}{\frac {R_{1}}{R_{1}+{\frac {1}{jC\omega }}}}=V_{e}{\frac {jR_{1}C\omega }{1+jR_{1}C\omega }}}$

${\displaystyle I_{1}={\frac {V_{\epsilon +}}{R_{1}}}=V_{e}{\frac {jC\omega }{1+jR_{1}C\omega }}}$

${\displaystyle I_{2}={\frac {V_{e}-V_{\epsilon +}}{R_{2}}}={\frac {V_{e}}{R_{2}}}{\frac {1}{1+jR_{1}C\omega }}}$

${\displaystyle I=I_{1}+I_{2}={\frac {V_{e}}{1+jR_{1}C\omega }}(jC\omega +{\frac {1}{R_{2}}})}$

${\displaystyle I={\frac {V_{e}}{R_{2}}}{\frac {1+jR_{2}C\omega }{1+jR_{1}C\omega }}}$

${\displaystyle Z_{eq}={\frac {V_{e}}{I}}}$

L'impédance équivalente de ce montage est donc :

${\displaystyle Z_{eq}(\omega )=R_{2}{\frac {1+jR_{1}C\omega }{1+jR_{2}C\omega }}}$

les deux fréquences de coupures de ce montage sont :

${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}}$ et ${\displaystyle f_{2}={\frac {1}{2\pi R_{1}C}}}$

Si ${\displaystyle R_{1}>>R_{2}}$ on a :

${\displaystyle f<f_{1}}$ ${\displaystyle Z_{eq}\approx R_{2}}$

${\displaystyle f_{1}<f<f_{2}}$ ${\displaystyle Z_{eq}\approx L=R_{2}R_{1}C}$

${\displaystyle f>f_{2}}$ ${\displaystyle Z_{eq}\approx R_{1}}$

Supposons que l'amplificateur opérationnel soit parfait, alors ${\displaystyle i^{+}=i^{-}=0}$ et que ${\displaystyle V^{+}=V^{-}=V_{s}}$. Le courant ${\displaystyle I_{2}}$ est donné par :

${\displaystyle I_{2}={\frac {V_{s}}{R_{1}}}}$

Si on considère la tension d'une masse à l'autre (utilisation de la loi des mailles), il est possible d'écrire :

${\displaystyle (R_{1}+R_{2})I_{2}+R_{3}\cdot I_{s}-V_{s}=0}$

En utilisant les deux équations précédentes (on remplace ${\displaystyle I_{2}}$ dans la deuxième formule) on obtient :

${\displaystyle (R_{1}+R_{2}){\frac {V_{s}}{R_{1}}}+R_{3}\cdot I_{s}-V_{s}=0}$

${\displaystyle V_{s}(1-{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}})=R_{3}\cdot I_{s}}$

${\displaystyle V_{s}=-I_{s}\cdot R_{3}{\frac {R_{1}}{R_{2}}}}$

Ce qui permet de calculer la résistance d'entrée :

${\displaystyle R_{in}={\frac {V_{s}}{I_{s}}}=-R_{3}{\frac {R_{1}}{R_{2}}}}$

Pour étudier ce montage, il faut considérer deux cas : lorsque la diode est passante ou lorsque la diode est bloquée.

• Lorsque la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel est positive, la diode est passante et le circuit se comporte comme un suiveur :

${\displaystyle V_{s}=V_{e}}$

• Lorsque la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel est négative, la diode se bloque (elle ne peut laisser passer un courant négatif). La boucle de contre-réaction n'est plus fermée et le montage se comporte comme un comparateur : la tension de sortie de l'amplificateur opérationnel vaut ${\displaystyle -V_{sat}}$. La diode étant bloquée, aucun courant ne parcourt la résistance de charge ${\displaystyle R_{L}}$. La tension de sortie du montage est donc nulle :

${\displaystyle V_{s}=0}$

Si ${\displaystyle V_{e}>V_{s}}$, la sortie de amplificateur tend vers ${\displaystyle V_{s}+}$, la diode est passante ce qui charge le condensateur C, et augmente ${\displaystyle V_{s}}$ jusqu'à égaliser l'entrée et la sortie.

Si ${\displaystyle V_{e}<V_{s}}$, la sortie de l'amplificateur tend vers ${\displaystyle V_{s}-}$, la diode est bloquée, et la tension de sortie reste constante.

L'interrupteur permet de réinitialiser le dispositif.

Pour cette étude, on considérera que l'amplificateur opérationnel utilisé est parfait, et qu'il fonctionne en « mode comparateur » car il utilise une contre-réaction sur l'entrée non inverseuse de l'AOP. Le gain différentiel de l'amplificateur étant infini, la tension de sortie V_s ne peut valoir que +V_cc ou -V_cc suivant le signe de la tension différentielle V_diff.

${\displaystyle V_{diff}=V_{+}-V_{-}=V_{+}=V_{e}\cdot {\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}+V_{s}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}}$

La tension V_e annulant la tension différentielle V_diff vaut donc :

${\displaystyle V_{e}=-V_{s}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{2}}}}$

Suivant le signe de V_s, on peut définir une tension de basculement positif V_T⁺ faisant passer la sortie V_s de -V_cc a +V_cc, et une tension de basculement négatif V_T^- faisant passer V_s de +V_cc a -V_cc :

Tension de basculement positif : ${\displaystyle V_{\mathrm {T^{+}} }=V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{2}}\right)}$

Tension de basculement négatif : ${\displaystyle V_{\mathrm {T^{-}} }=-V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{2}}\right)}$

Pour cette étude, on considérera que l'amplificateur opérationnel utilisé est parfait, et qu'il fonctionne en « mode comparateur » car il utilise une contre-réaction sur l'entrée non inverseuse de l'AOP. Le gain différentiel de l'amplificateur étant infini, la tension de sortie V_s ne peut valoir que +V_cc ou -V_cc suivant le signe de la tension différentielle V_diff.

${\displaystyle V_{diff}=V_{+}-V_{-}=V_{s}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}-V_{e}}$

La tension V_e annulant la tension différentielle V_diff vaut donc :

${\displaystyle V_{e}=V_{s}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}}$

Suivant le signe de V_s, on peut définir une tension de basculement positif V_T⁺ faisant passer la sortie V_s de +V_cc a -V_cc, et une tension de basculement négatif V_T^- faisant passer V_s de -V_cc a +V_cc :

Tension de basculement positif : ${\displaystyle V_{\mathrm {T^{+}} }=-V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{1}+R_{2}}\right)}$

Tension de basculement négatif : ${\displaystyle V_{\mathrm {T^{-}} }=V_{\mathrm {cc} }\left({R_{1} \over R_{1}+R_{2}}\right)}$