Moment factoriel

Si une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ, alors les moments factoriels de X sont donnés par[4]

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\lambda ^{r}}$.

Cette formule est plutôt simple comparée à la formule des moments classiques qui fait intervenir les nombres de Stirling de seconde espèce.

Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors les moments factoriels de X sont donnés par[4]

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=(n)_{r}p^{r}}$.

Si une variable aléatoire X suit une loi hypergéométrique de paramètres n, p et N, alors les moments factoriels de X sont donnés par[4]

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {(n)_{r}(pN)_{r}}{(N)_{r}}}}$.

Si une variable aléatoire X suit une loi bêta-binomiale de paramètres α, β et n, alors les moments factoriels de X sont donnés par[5]

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {(n)_{r}(\alpha )_{r}}{(\alpha +\beta )_{r}}}}$.

Si une variable aléatoire X suit une loi de Markov-Pólya de paramètres a, b, h et n, autrement dit, si

${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)={\binom {n}{k}}{\frac {a(a+h)\dots (a+(k-1)h)b(b+h)\dots (b+(n-k-1)h)}{(a+b)(a+b+h)\dots (a+b+(n-1)h)}}~~~~~~\forall k=0,1,\dots n}$

alors pour h non nul les moments factoriels de X sont donnés par[6]

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {(n)_{r}(-a/h)_{r}}{(-(a+b)/h)_{r}}}={\frac {(n)_{r}(a/h)^{(r)}}{((a+b)/h)^{(r)}}}}$

où ${\displaystyle x^{(r)}}$ désigne la factorielle croissante.

Lorsque h est nul alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p = a/(a+b).

De même lorsque h vaut -1 alors X suit une loi hypergéométrique de paramètres n, p = a/(a+b) et N = a+b.

Enfin lorsque h vaut 1 alors X suit une loi bêta-binomiale de paramètres α = a, β = b et n.

Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale négative de paramètres n et p, autrement dit, si

${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)={\binom {n+k-1}{k}}p^{n}(1-p)^{k}~~~~~~\forall k=0,1,\dots }$

alors les moments factoriels de X sont donnés par[7]

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}={\frac {(1-p)^{r}n^{(r)}}{p^{r}}}}$

où ${\displaystyle x^{(r)}}$ désigne la factorielle croissante.

Le n-ième moment d'une variable aléatoire X existe et est fini si et seulement si son n-ième moment factoriel existe et est fini, de plus, le cas échéant, on a la relation suivante

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X^{n}{\bigr ]}=\sum _{r=0}^{n}S(n,r)\mathbb {E} [(X)_{r}]}$

où S(n, r) désigne un nombre de Stirling de seconde espèce.

Dans le cas d'une variable aléatoire X à valeurs entières positives, le r-ième moment factoriel d'une variable aléatoire X existe et est fini si et seulement si sa fonction génératrice des probabilités ${\displaystyle G_{X}}$ admet une dérivée à gauche d'ordre r en 1, de plus, le cas échéant, on a la relation suivante[8]

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=G_{X}^{(r)}(1)}$.

Dans le cas d'une variable aléatoire X à valeurs entières positives on peut naturellement relier le r-ième moment factoriel de X avec sa fonction de masse comme suit

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(X)_{r}{\bigr ]}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(r+k)!}{k!}}\mathbb {P} (X=r+k)}$.

Il est possible d'inverser cette formule afin d'obtenir une expression de la fonction de masse en fonction des moments factoriels[4]

${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)=\sum _{\ell =0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{\ell }}{k!\ell$ !}}\mathbb {E} {\bigl [}(X)_{k+\ell }{\bigr ]}} .