Moiré (physique)

Moiré de réseaux parallèles

Considérons deux réseaux constitués de lignes parallèles équidistantes, par exemple verticales. Le premier réseau a un pas p, le second a un pas p + δp, avec δp > 0.

Si nous faisons coïncider les traits les plus à gauche des réseaux, le décalage entre les traits des deux réseaux s'accentue lorsque l'on va vers la droite. Au bout d'un certain nombre de traits, les deux réseaux seront en opposition : les traits du deuxième réseau seront entre les traits du premier réseau. De loin, on va donc avoir une impression de clair lorsque les traits des deux réseaux sont superposés (il y a du blanc entre les traits), et une impression de sombre lorsque les traits sont en opposition.

La première ligne sombre apparaît lorsque le décalage est p/2. Le trait n du second réseau est décalé de n·δp par rapport au trait n du premier réseau. La première ligne sombre apparaît donc pour

${\displaystyle n\cdot \delta p={\frac {p}{2}}}$.

soit

${\displaystyle n={\frac {p}{2\delta p}}}$.

La distance d séparant une ligne sombre d'une ligne claire est donc

${\displaystyle d=n\cdot (p+\delta p)={\frac {p^{2}}{2\delta p}}+{\frac {p}{2}}}$

la distance séparant deux lignes sombres, qui est également la distance séparant deux lignes claires, est

${\displaystyle 2d={\frac {p^{2}}{\delta p}}+p}$

On déduit de cette formule que :

• plus le pas est grand, plus les lignes claires et sombres sont espacées ;
• plus l'écart de pas δp est grand, plus les lignes claires et sombres sont rapprochées. Lorsque δp tend vers l'infini, l'écart entre les lignes tend vers p : on retrouve le pas du premier réseau.
• à l'inverse, des lignes très espacées signifient que les réseaux ont des pas très proches. Lorsque δp tend vers 0, l'écart entre les lignes tend vers l'infini : on obtient une figure uniforme, sans variation de contraste.

Le principe du moiré est similaire à celui du vernier.

Battements d'interférence selon l'endroit à un instant donné, pour une différence de nombre d'onde de 1 %

Si l'on ne considère plus des réseaux de lignes de fort contraste, mais des réseaux transparents ayant un contraste I variant de manière continue selon une sinusoïde

${\displaystyle \mathrm {I} _{1}(x)=\mathrm {I} _{0}\cdot \sin(2\pi \cdot k_{1}\cdot x)}$

${\displaystyle \mathrm {I} _{2}(x)=\mathrm {I} _{0}\cdot \sin(2\pi \cdot k_{2}\cdot x)}$

(les pas sont respectivement de p₁ = 1/k₁ et p₂ = 1/k₂), l'intensité lorsque l'on superpose les deux réseaux est alors

${\displaystyle \mathrm {I} (x)=\mathrm {I} _{0}\cdot (\sin(2\pi \cdot k_{1}\cdot x)+\sin(2\pi \cdot k_{2}\cdot x))}$

soit, d'après la formule de la somme de deux sinus dérivée des formules d'Euler :

${\displaystyle \mathrm {I} (x)=\mathrm {I} _{0}\cdot 2\cos \left(2\pi {\frac {(k_{1}-k_{2})}{2}}\cdot x\right)\cdot \sin \left(2\pi {\frac {(k_{1}+k_{2})}{2}}\cdot x\right)}$

Recouvrement de deux films ayant une densité de gris sinusoïdale de longueur d'onde légèrement différente

On voit donc que l'intensité résultante est composée d'une sinusoïde ayant une « fréquence spatiale » (nombre d'onde) élevée qui est la moyenne des fréquences spatiales des deux réseaux, et d'une sinusoïde ayant une fréquence spatiale faible qui est la moitié de la différence des fréquences spatiales des deux réseaux. Cette deuxième composante est une « enveloppe » pour l'autre sinusoïde. La longueur d'onde λ de cette composante est l'inverse de la fréquence spatiale

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{p_{1}}}-{\frac {1}{p_{2}}}\right)}$

soit si l'on pose p₁ = p et p₂ = p+δp :

${\displaystyle \lambda =2{\frac {p_{1}p_{2}}{p_{2}-p_{1}}}\Leftrightarrow {\frac {\lambda }{2}}={\frac {p^{2}}{\delta p}}+p}$.

Les zéros de cette enveloppe sont espacés de λ/2, et les maxima d'amplitude en valeur absolue sont espacés également de λ/2 ; on retrouve donc le résultat de l'approche classique.

Ce phénomène est semblable à la stroboscopie temporelle, ou à la production de battements sonores.

Considérons une pièce de longueur l sur laquelle on trace un réseau de pas p dont les traits sont perpendiculaires à l'axe de traction.

Sous tension, la pièce a une longueur l·(1+ε), où ε est la déformation (allongement relatif). Le pas du réseau devient p·(1+ε), on a donc δp = p·ε.

On voit que l'espacement entre deux zones sombre vaut :

${\displaystyle 2d={\frac {p}{\varepsilon }}}$

donc cet espacement permet de déterminer la déformation. Toutefois, la mesure de la distance entre deux sombres est imprécise, du fait de la largeur d'une zone. On peut se contenter de compter le nombre N de traits sombres que l'on voit : sur une longueur l, on a

${\displaystyle N={\frac {l\cdot \varepsilon }{p}}}$

soit

${\displaystyle \varepsilon =N\cdot {\frac {p}{l}}}$

La précision est la déformation qui sépare deux apparitions de traits, soit

${\displaystyle \Delta \varepsilon ={\frac {p}{l}}}$

Dans le cas du cisaillement pur, il suffit de tracer un réseau perpendiculaire aux forces de scission. Le réseau sur la pièce déformée est alors tourné de l'angle de cisaillement γ par rapport au réseau de référence (pièce non déformée).

De même que pour la traction uniaxiale, on peut se contenter de compter le nombre de traits, à condition que γ soit très faible, que la pièce soit rectangulaire, et que les forces soient parallèles aux côtés (les lignes claires sont alors quasiment parallèles aux côtés de la pièce).

Si la largeur de la pièce (perpendiculairement aux forces) est l, alors le nombre de traits N vaut :

${\displaystyle N=l/D=l\cdot \gamma /p}$

soit

${\displaystyle \gamma =N\cdot {\frac {p}{l}}}$

avec comme ci-dessus une erreur

${\displaystyle \Delta \gamma ={\frac {p}{l}}}$

• Repliement de spectre
• Détramage