Mesure produit

En mathématiques et plus précisément en théorie de la mesure, étant donnés deux espaces mesurés ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1},\mu _{1})}$ et ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2},\mu _{2}),}$ on définit une mesure produit μ₁×μ₂ sur l'espace mesurable ${\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},{\mathcal {S}}_{1}\times {\mathcal {S}}_{2})}$.

La tribu produit ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}\times {\mathcal {S}}_{2}}$ est la tribu sur le produit cartésien ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$ engendrée par les parties de la forme ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$, où ${\displaystyle A_{1}}$ appartient à ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ et ${\displaystyle A_{2}}$ à ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$ :

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}\times {\mathcal {S}}_{2}\ =\ \sigma \left(\left\{A_{1}\times A_{2}\ |\ A_{1}\in {\mathcal {S}}_{1},\ A_{2}\in {\mathcal {S}}_{2}\right\}\right).}$

Une mesure produit μ₁×μ₂ est une mesure sur ${\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},{\mathcal {S}}_{1}\times {\mathcal {S}}_{2})}$ telle que :

${\displaystyle \forall A_{1}\in {\mathcal {S}}_{1},~\forall A_{2}\in {\mathcal {S}}_{2}\qquad (\mu _{1}\times \mu _{2})(A_{1}\times A_{2})=\mu _{1}(A_{1})\mu _{2}(A_{2}).}$

D'après le théorème d'extension de Carathéodory, une telle mesure μ₁×μ₂ existe, et si μ₁ et μ₂ sont σ-finies alors elle est unique.

En fait, lorsque μ₁ et μ₂ sont σ-finies, pour chaque ensemble mesurable E,

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{\Omega _{2}}\mu _{1}(E^{y})~\mathrm {d} \mu _{2}(y)=\int _{\Omega _{1}}\mu _{2}(E_{x})~\mathrm {d} \mu _{1}(x),}$

avec E_x = {y∈Ω₂|(x,y)∊E} et E^y = {x∈Ω₁|(x,y)∊E}, qui sont tous deux des ensembles mesurables.

La mesure de Borel-Lebesgue sur l'espace euclidien ℝⁿ peut être obtenue comme le produit de n copies de celle sur la droite réelle ℝ.

Même lorsque μ₁ et μ₂ sont complètes, μ₁×μ₂ ne l'est pas nécessairement. Par exemple, pour obtenir la mesure de Lebesgue sur ℝ², il faut compléter le produit des deux copies de la mesure de Lebesgue sur ℝ.