Matrices de Gell-Mann

Les matrices de Gell-Mann sont, en physique des particules, un ensemble de huit matrices 3 x 3 hermitiennes et sans trace qui forment une représentation des générateurs du groupe SU(3).

Leur éponyme est Murray Gell-Mann (1929-2019).

Elles sont notées ${\displaystyle \lambda _{a}}$.

Les huit matrices sont les suivantes :

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}$	${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},}$
${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},}$	${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},}$	${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.}$

Elles vérifient les relations suivantes :

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {Tr} \left(\lambda _{a}\lambda _{b}\right)=2\delta _{ab}\\\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]=2if_{abc}\lambda _{c}\end{cases}}}$,

où :

• ${\displaystyle \delta }$ est le symbole de Kronecker,
• ${\displaystyle \mathrm {Tr} }$ est la trace,
• ${\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]}$ est le commutateur,
• ${\displaystyle i}$ est l'imaginaire pur ${\displaystyle \left(i^{2}=-1\right)}$,

et :

• ${\displaystyle f_{abc}}$ sont des constantes telles que :

• ${\displaystyle f_{123}=1}$,
• ${\displaystyle f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}}$,

et :

• ${\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.