Méthode de Simpson

En analyse numérique, la méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson, est une technique de calcul numérique d'une intégrale, c'est-à-dire le calcul approché de :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$

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Cette méthode utilise l'approximation d'ordre 2 de f par un polynôme quadratique P prenant les mêmes valeurs que f aux points d'abscisse a, b et m = ^{(a + b)}⁄₂. Pour déterminer l'expression de cette parabole (polynôme de degré 2), on utilise l'interpolation lagrangienne. Le résultat peut être mis sous la forme :

${\displaystyle P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}$

Un polynôme étant une fonction très facile à intégrer, on approche l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a, b], par l'intégrale de P sur ce même intervalle. On a ainsi la simple formule :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}P(x)dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$

La courbe rouge représente le polynôme d'approximation P(x).

Un autre moyen d'arriver à ce résultat est d'appliquer les formules de Newton-Cotes avec n = 2.

Si f est 4 fois continument différentiable sur [a, b], l'erreur d'approximation vaut :

${\displaystyle -{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi ),\xi \in [a,b]}$ où ${\displaystyle h={\frac {b-a}{2}}.}$

Cette expression du terme d'erreur signifie que la méthode de Simpson est exacte (c'est-à-dire que le terme d'erreur s'annule) pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à 3. De plus, cette méthode est d'ordre 4 pour toute fonction continûment dérivable quatre fois sur [a, b].

Par ailleurs, il apparaît que plus l'intervalle est petit, plus l'approximation de la valeur de l'intégrale est bonne. Par conséquent, pour obtenir un résultat correct, on subdivise chaque intervalle [a, m] et [m, b] en sous-intervalles et on additionne la valeur obtenue sur chaque intervalle. Soit :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{6}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n}f(x_{2j-1})+f(x_{2n}){\bigg ]},}$

où :

• n est le nombre de sous-intervalles de [a, b] ;
• h =^{(b – a)}⁄_n est la longueur de ces sous-intervalles ;
• ${\displaystyle x_{i}=a+i{\frac {h}{2}}}$ pour ${\displaystyle i=0,1,\dots ,2n-1,2n.}$

Pour cette formule composite, le terme d'erreur devient égal à

${\displaystyle -n\times {\frac {h^{5}}{2880}}f^{(4)}(\xi '),\xi '\in [a,b],}$

ce qui signifie que la méthode composite fournit aussi des résultats exacts pour des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.

À la fois à cause de sa simplicité de mise en œuvre et sa bonne précision, cette méthode est la plus utilisée par les calculatrices pour tous calculs approchés d'intégrales de fonctions explicites.