Loi tronquée

Pour une variable aléatoire X, de support réel, et dont la fonction de répartition est F et la densité f, on peut montrer que le conditionnement de X à l'intervalle réel [a,b] donne :

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq x|a\leq X\leq b)={\frac {\mathbb {P} (a\leq X\leq x)}{\mathbb {P} (a\leq X\leq b)}}={\frac {F(x)-F(a)}{F(b)-F(a)}}}$

avec ${\displaystyle x\in [a;b]}$ et ${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)\,\mathrm {d} u}$. La densité g associée est

${\displaystyle g(x)=f(x|a\leq X\leq b)={\frac {f(x)}{F(b)-F(a)}}}$

pour ${\displaystyle x\in [a;b]}$, 0 sinon. g est une densité, puisque

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{F(b)-F(a)}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=1}$.

Il existe d'autres troncatures ; pour une troncature du type {X > y}, la densité devient

${\displaystyle g(x)=f(x|X>y)={\frac {f(x)}{1-F(y)}}}$,

pour ${\displaystyle y<x}$ et g(x) = 0 partout ailleurs.

Pour une troncature du type ${\displaystyle X\leq y}$, la densité est :

${\displaystyle g(x)=f(x|X\leq y)={\frac {f(x)}{F(y)}}}$

pour ${\displaystyle x\leq y}$ et 0 sinon.

L'espérance de X conditionnellement à l'événement {X > y} est ${\displaystyle \mathbb {E} (X|X>y)={\frac {1}{1-F(y)}}\int _{y}^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x}$.

Soit alors a et b le support de la variable initiale, pour une fonction ${\displaystyle x\mapsto u(x)}$ de classe C¹, la fonction ${\displaystyle y\mapsto \mathbb {E} (u(X)|X>y)}$ présente quelques propriétés :

1. ${\displaystyle \lim _{y\to a}\mathbb {E} (u(X)|X>y)=\mathbb {E} (u(X))}$ ;
2. ${\displaystyle \lim _{y\to b}\mathbb {E} (u(X)|X>y)=u(b)}$ ;
3. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[\mathbb {E} (u(X)|X>y)]={\frac {f(y)}{1-F(y)}}[\mathbb {E} (u(X)|X>y)-u(y)]}$ ;
4. ${\displaystyle \lim _{y\to a}{\frac {\partial }{\partial y}}[\mathbb {E} (u(X)|X>y)]=f(a)[\mathbb {E} (u(X))-u(a)]}$ ;
5. ${\displaystyle \lim _{y\to b}{\frac {\partial }{\partial y}}[\mathbb {E} (u(X)|X>y)]={\frac {1}{2}}u'(b)}$.

On suppose bien sûr que les limites suivantes existent : ${\displaystyle \lim _{y\to c}u'(y)=u'(c)}$, ${\displaystyle \lim _{y\to c}u(y)=u(c)}$ et ${\displaystyle \lim _{y\to c}f(y)=f(c)}$ où c représente soit a ou b.

Loi normale centrée réduite tronquée en 2.

Comparaison de deux lois normales centrées réduites tronquées l'une en 1,5 (rouge) l'autre en 2,5 (bleue).

La loi tronquée la plus utilisée est la loi normale tronquée, obtenue à partir d'une loi normale. Elle est utilisée en économétrie dans le modèle tobit et le modèle probit, afin de modéliser respectivement les données censurées et les probabilités de choix binaire.

Si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\!}$, et qu'on contraint X à appartenir à l'intervalle [a,b] avec ${\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty }$. Alors la densité tronquée est

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,a,b)={\frac {\frac {1}{\sigma }}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),}$

où ${\displaystyle {\varphi (\cdot )}\ }$ est la densité de la loi normale standard et ${\displaystyle {\Phi (\cdot )}\ }$ sa fonction de répartition. On impose la convention que si ${\displaystyle {b=\infty }\ }$, alors ${\displaystyle {\Phi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)=1}}$ et de même, si ${\displaystyle {a=-\infty }\ }$, alors ${\displaystyle {\Phi \left({\frac {a-\mu }{\sigma }}\right)=0}}$.

Les moments pour une double troncature sont

${\displaystyle \mathbb {E} (X|a<X<b)=\mu +{\frac {\varphi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-\varphi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)}{\Phi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}\sigma ,}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X|a<X<b)=\sigma ^{2}\left[1+{\dfrac {{\frac {a-\mu }{\sigma }}\varphi \left({\frac {a-\mu }{\sigma }}\right)-{\frac {b-\mu }{\sigma }}\varphi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)}{\Phi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {a-\mu }{\sigma }}\right)}}-\left({\dfrac {\varphi \left({\frac {a-\mu }{\sigma }}\right)-\varphi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)}{\Phi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {a-\mu }{\sigma }}\right)}}\right)^{2}\right].\!}$

Pour une simple troncature, ces moments deviennent

${\displaystyle \mathbb {E} (X|a<X)=\mu +\sigma \lambda (\alpha )}$

et

${\displaystyle \operatorname {Var} (X|X>a)=\sigma ^{2}[1-\delta (\alpha )]}$

avec ${\displaystyle \alpha =(a-\mu )/\sigma ,\;\lambda =\varphi (\alpha )/[1-\Phi (\alpha )]\;{\text{et}}\;\delta (\alpha )=\lambda (\alpha )[\lambda (\alpha )-\alpha ].}$

Considérons la configuration suivante : une valeur de troncature, disons t, est tirée au hasard, depuis une densité de probabilité g(t), non-observable. On observe alors une valeur x tirée dans la densité tronquée f (x|t). On souhaite, à partir de l'observation de x, mieux connaître la densité de t.

Par définition, on a déjà :

${\displaystyle f(x)=\int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)\,\mathrm {d} t}$

et

${\displaystyle F(a)=\int _{-\infty }^{a}\left[\int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} x}$

t doit être plus grand que x, et par conséquent, lorsqu'on intègre sur t, il faut poser x comme borne inférieure.

Par le théorème de Bayes :

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{f(x)}}}$

qui devient

${\displaystyle g(t|x)={\frac {f(x|t)g(t)}{\displaystyle \int _{x}^{\infty }f(x|t)g(t)\,\mathrm {d} t}}}$