Loi normale repliée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale repliée (ou loi de défaut de forme[1]) est une loi de probabilité continue liée à la loi normale. Considérons $X$ une variable aléatoire de loi normale avec moyenne $\mu$ et variance $\sigma ^{2}$ , alors la variable aléatoire $Y=|X|$ est de loi normale repliée. Ainsi on ne comptabilise que la valeur de la variable mais pas son signe.

Loi normale repliée
Densité de probabilité $\mu =1,\sigma =1$


Fonction de répartition $\mu =1,\sigma =1$

Paramètres	$\mu \in \mathbb {R}$ — (paramètre de position) $\sigma >0$ — (paramètre d'échelle)
Support	$x\in [0,\infty [$
Densité de probabilité	(voir l'article)
Fonction de répartition	(voir l'article)
Espérance	(voir l'article)
Variance	(voir l'article)

Le terme « repliée » vient du fait que la densité de la loi « à gauche » de x=0 est repliée sur la partie « à droite » de x=0 en prenant la valeur absolue.

Caractérisations

Fonction de densité

La densité de probabilité est donnée par :

f_{Y}(x)={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(-x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)+{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}&{\text{ pour }}x\geq 0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

Fonction de répartition

La fonction de répartition est donnée par :

F_{Y}(y)={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\left[\exp \left(-{\frac {(-x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\right]\mathrm {d} x.}&{\text{ pour }}y\geq 0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

En utilisant le changement de variable $z=(x-\mu )/\sigma$ , on peut réécrire

F_{Y}(y)=\int _{-\mu /\sigma }^{(y-\mu )/\sigma }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {2\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\mathrm {d} z+\int _{-\mu /\sigma }^{(y-\mu )/\sigma }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2}}\right)\mathrm {d} z.

De manière similaire, en utilisant le changement de variable $z=-(x+\mu )/\sigma {\sqrt {2}}$ dans la première intégrale et $z=(x-\mu )/{\sqrt {2}}\sigma$ dans la deuxième, on peut écrire

F_{Y}(y)={\frac {1}{2}}\left[{\mbox{erf}}\left({\frac {y+\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)+{\mbox{erf}}\left({\frac {y-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)\right],

où $erf$ est la fonction d'erreur. On retrouve alors la loi demi-normale quand $μ = 0$ .

Propriétés

L'espérance est donnée par :

\mathbb {E} (Y)=\sigma {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)+\mu \left[1-2\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)\right],

où Φ(•) est la fonction de répartition de la loi normale standard.

La variance est donnée par :

\operatorname {Var} (Y)=\mu ^{2}+\sigma ^{2}-\left\{\sigma {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)+\mu \left[1-2\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)\right]\right\}^{2}.

Ces deux valeurs, espérance et variance, peuvent être vues comme les paramètres de position et d'échelle de la nouvelle loi.

Liens avec d'autres lois

Quand μ = 0, la loi normale repliée est la loi demi-normale.
Si Y est de loi normale repliée, Y/σ suit une loi du χ non centrée avec un degré de liberté et de paramètre μ/σ.

Références

H. Sombstay et T. Nguyen Huu, « Variabilité d'une fabrication en tenant compte des défauts de forme », Revue de statistique appliquée, vol. 6, n^o 1,‎ 1958, p. 17-36 (lire en ligne)

(en) Leone FC, Nottingham RB, Nelson LS, « The Folded Normal Distribution », Technometrics, Technometrics, Vol. 3, No. 4, vol. 3, n^o 4,‎ 1961, p. 543–550 (DOI 10.2307/1266560, JSTOR 1266560)
(en) Johnson NL, « The folded normal distribution: accuracy of the estimation by maximum likelihood », Technometrics, Technometrics, Vol. 4, No. 2, vol. 4, n^o 2,‎ 1962, p. 249–256 (DOI 10.2307/1266622, JSTOR 1266622)
(en) Nelson LS, « The Folded Normal Distribution », J Qual Technol, vol. 12, n^o 4,‎ 1980, p. 236–238
(en) Elandt RC, « The folded normal distribution: two methods of estimating parameters from moments », Technometrics, Technometrics, Vol. 3, No. 4, vol. 3, n^o 4,‎ 1961, p. 551–562 (DOI 10.2307/1266561, JSTOR 1266561)
(en) Lin PC, « Application of the generalized folded-normal distribution to the process capability measures », Int J Adv Manuf Technol, vol. 26, n^os 7–8,‎ 2005, p. 825–830 (DOI 10.1007/s00170-003-2043-x)

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[1] H. Sombstay et T. Nguyen Huu, « Variabilité d'une fabrication en tenant compte des défauts de forme », Revue de statistique appliquée, vol. 6, n^o 1,‎ 1958, p. 17-36 (lire en ligne)