Limite de Betz

- Ecoulement monodimensionnel par section, stationnaire d'un fluide parfait homogène

- On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

${\displaystyle \rho }$ : masse volumique du fluide

S : surface du capteur éolien

pour toutes les variables suivantes, l'indice ${\displaystyle _{1}}$ correspond à l'entrée du capteur et l'indice ${\displaystyle _{2}}$ correspond à la sortie

${\displaystyle s}$ : section occupée par le flux d'air capté (variable, voir plus bas)

${\displaystyle p}$ : pression

${\displaystyle v}$ : vitesse de l'air

Dm : débit massique d'air, ${\displaystyle Dm=\rho sv}$

${\displaystyle F}$ : force exercée par l'air sur le capteur

${\displaystyle P}$ : puissance développée par la force exercée.

Dans le cas examiné, le débit massique est constant : ${\displaystyle D_{m}=\rho sv=cste}$[1].

Considérons quatre points sur une même ligne de courant : un point en amont (sur ${\displaystyle s_{1}}$), un point "juste avant" le capteur proprement dit, un autre "juste après", et un dernier en aval (sur ${\displaystyle s_{2}}$) :

Aux deux points loin du capteur, sur ${\displaystyle s_{1}}$ et ${\displaystyle s_{2}}$, la pression est égale à la pression atmosphérique ${\displaystyle p_{0}}$

Aux deux points proches du capteur, la section est égale à la surface S, et comme le débit massique est constant, la vitesse du vent est la même en ces deux points : ${\displaystyle v}$. En revanche, il y a une discontinuité de pression entre ces deux points.

L'écoulement est supposé parfait et stationnaire, tout comme le fluide est supposé incompressible (masse volumique constante) ; l'effet du champ de pesanteur est nul (l'air capté flotte dans l'air "autour", du fait que la poussée d'Archimède équilibre exactement le poids de l'air, dont un éventuel travail - même en supposant une variation d'altitude - est ainsi annulé). On applique le théorème de Bernoulli deux fois, d'une part entre l'amont et le point juste avant le capteur, d'autre part le point juste après et l'aval ; on a donc :

(1) : ${\displaystyle {\frac {p_{0}}{\rho }}+{\frac {v_{1}^{2}}{2}}={\frac {p_{1}}{\rho }}+{\frac {v^{2}}{2}}}$

et

(2) : ${\displaystyle {\frac {p_{0}}{\rho }}+{\frac {v_{2}^{2}}{2}}={\frac {p_{2}}{\rho }}+{\frac {v^{2}}{2}}}$

La soustraction (1) - (2) donne

(3) : ${\displaystyle p_{1}-p_{2}={\frac {\rho }{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})}$

La force exercée par le vent sur le capteur est

(4) : ${\displaystyle F=(p_{1}-p_{2}).S={\frac {\rho }{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).S=\rho .S.{\frac {(v_{1}+v_{2})}{2}}(v_{1}-v_{2})}$

Mais cette force peut aussi s'exprimer par application de la loi de Newton :

(5) : ${\displaystyle {\begin{aligned}F&=m\cdot a\\&=m\cdot {\tfrac {dv}{dt}}\\&=D_{m}\cdot \Delta v\\&=\rho \cdot S\cdot v\cdot \left(v_{1}-v_{2}\right)\\\end{aligned}}}$

L'égalité des deux expressions (4) et (5) impose que ${\displaystyle v={\frac {(v_{1}+v_{2})}{2}}}$et la puissance développée par cette force sur les pales est

(6) : ${\displaystyle P=F.v={\frac {\rho }{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).S.v}$ ;

Si on exprime cette puissance en fonction de ${\displaystyle x={\frac {v_{2}}{v_{1}}}}$, du rendement r, et de ${\displaystyle P_{0}}$ la puissance incidente du vent non perturbé :

${\displaystyle P_{0}={\frac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}}$

on obtient

${\displaystyle v=v_{1}{\frac {1+x}{2}}}$

et

${\displaystyle r={\frac {P}{P_{0}}}={\frac {1}{2}}(1-x^{2})(1+x)}$

On peut alors tracer le rendement r de l'éolienne en fonction de x :

Le maximum[2] est atteint pour x=1/3, et alors r=16/27. D'où la limite de Betz :

${\displaystyle P_{extraite}^{max}\,\,=\,\,{\frac {16}{27}}\,P_{incidente}}$